Sabendo que lim x 1 h(x)=5, lim x 1 p(x)=1 e lim x 1 r(x)=-2, calcule o limite
lim x 1 raiz5 h(x)p(x)(4-r(x))
utilizando as propriedades de limites.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular o limite
limx to 1 raiz5,h(x)p(x),l(4 - r(x)r)
sabendo que
,
e
.
Isso é um exercício de limites usando as propriedades de limites (produto, quociente, soma, diferença e composição com funções contínuas). Vamos precisar saber que:
  • O limite de um produto é o produto dos limites (se existirem).
  • O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o denominador não seja zero).
  • E que, como a raiz quadrada é uma função contínua em valores positivos, dá pra “passar o limite para dentro” dela:
    .

Passo 2

Primeiro, olho no denominador e vejo que ele é
p(x),l(4 - r(x)r)
Pela propriedade de limite de produto e de diferença:
limx to 1 p(x),l(4 - r(x)r) = l(limx to 1 p(x)r),l(limx to 1(4 - r(x))r)
Agora uso que e para a diferença
.

Passo 3

Então o limite do denominador fica
1 times 6 = 6,
e isso é diferente de zero, então tá tudo certo pra usar o quociente de limites.

Passo 4

Agora o numerador:
raiz5,h(x)
Aqui a gente usa duas coisas:
  1. O limite de um produto (5·h(x)) é limx to 1 raiz5,h(x) = raizlimx to 1 l(5,h(x)r) = raiz25 = 5 .
  2. A raiz quadrada é contínua para valores não-negativos, então

Passo 5

Juntando tudo na fração, pela propriedade do limite do quociente:
limx to 1 raiz5,h(x)p(x),(4 - r(x)) = lim raiz5,h(x)lim [,p(x),(4 - r(x)),] = 56

Resposta

boxed56

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