Sabendo que
,
e
, calcule o limite
utilizando as propriedades de limites.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular o limite
sabendo que
,
e
.
Isso é um exercício de limites usando as propriedades de limites (produto, quociente, soma, diferença e composição com funções contínuas). Vamos precisar saber que:
Isso é um exercício de limites usando as propriedades de limites (produto, quociente, soma, diferença e composição com funções contínuas). Vamos precisar saber que:
- O limite de um produto é o produto dos limites (se existirem).
- O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o denominador não seja zero).
- E que, como a raiz quadrada é uma função contínua em valores positivos, dá pra “passar o limite para dentro” dela:
.
Passo 2
Primeiro, olho no denominador e vejo que ele é
Pela propriedade de limite de produto e de diferença:
Agora uso que
e para a diferença
.
Passo 3
Então o limite do denominador fica
e isso é diferente de zero, então tá tudo certo pra usar o quociente de limites.
Passo 4
Agora o numerador:
Aqui a gente usa duas coisas:
- O limite de um produto (5·h(x)) é
. - A raiz quadrada é contínua para valores não-negativos, então
Passo 5
Juntando tudo na fração, pela propriedade do limite do quociente: