Supondo verdadeiro os limites abaixo, para cada epsilon>0 dado, encontre um de0 tal que a afirmaçăo na definição de limite seja verdadeira.
lim x 13 9 x^2-13 x-1=2 ; epsilon=0,01

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente sabe que
limxto tfrac139x^2-13x-1=2
e quer, para 0<|x-tfrac13|, achar um tal que
Matéria envolvida: definição de limite (ε–δ) e manipulação algébrica.
O que vamos precisar: usar álgebra pra simplificar a função e depois relacionar com .

Passo 2

Definição de limite ε–δ: dizer “o limite de 0<|x-a| em é ” significa que, para todo , existe tal que
Aqui , e .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão
9x^2-13x-1
Perceba que 9x^2-13x-1 =(3x-1)(3x+1)3x-1 =3x+1 . Então, para ,

Passo 4

Agora calculamos a diferença em módulo:
l|9x^2-13x-1-2r| =|3x+1-2| =|3x-1|

Passo 5

Escrevemos |3x-1|=3l|x-tfrac13r| , pois 3l|x-tfrac13r|<0,01 Longrightarrow l|x-tfrac13r|<0,013 . Logo
Para garantir que isso fique abaixo de , basta exigir

Passo 6

Escolhemos então
de
Isso garante que, sempre que l|9x^2-13x-1-2r|<0,01 , teremos

Resposta

boxedde

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