Supondo verdadeiro os limites abaixo, para cada dado, encontre um tal que a afirmaçăo na definição de limite seja verdadeira.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente sabe que
e quer, para , achar um tal que
Matéria envolvida: definição de limite (ε–δ) e manipulação algébrica.
O que vamos precisar: usar álgebra pra simplificar a função e depois relacionar com .
Passo 2
Definição de limite ε–δ: dizer “o limite de 0<|x-a| em é ” significa que, para todo , existe tal que
Aqui , e .
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
9x^2-13x-1
Perceba que 9x^2-13x-1 =(3x-1)(3x+1)3x-1 =3x+1 . Então, para ,
Passo 4
Agora calculamos a diferença em módulo:
l|9x^2-13x-1-2r| =|3x+1-2| =|3x-1|
Passo 5
Escrevemos |3x-1|=3l|x-tfrac13r| , pois 3l|x-tfrac13r|<0,01 Longrightarrow l|x-tfrac13r|<0,013 . Logo
Para garantir que isso fique abaixo de , basta exigir
Passo 6
Escolhemos então
de
Isso garante que, sempre que l|9x^2-13x-1-2r|<0,01 , teremos