Calcule usando as propriedades estudadas.
lim x a raiz[m]x-raiz[m]ax-a(a>0)

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer calcular
limxto araiz[m]x-raiz[m]ax-a, a>0
Conteúdo: limite de função envolvendo raízes m-ésimas.
O que vamos precisar:
  1. A fatoração da diferença de potências
    .
  2. Propriedade de continuidade (a soma de potências é contínua, então dá pra substituir depois de simplificar).

Passo 2

Vamos chamar
u = raiz[m]x, v = raiz[m]a
u^m - v^m = (u - v)l(u^m-1 + u^m-2v + cdots + v^m-1r) e x - a = u^m - v^m = (u - v)l(u^m-1 + u^m-2v + cdots + v^m-1r) .
Pela fatoração:
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Passo 3

Substituindo de volta no limite, nosso quociente vira
raiz[m]x-raiz[m]ax-a = u - v(u - v)l(u^m-1 + u^m-2v + cdots + v^m-1r) = 1,u^m-1 + u^m-2v + cdots + v^m-1!,
Agora fica fácil: a expressão do denominador é contínua em m;v^,m-1 = ml(raiz[m]ar)^m-1 = m,a^m-1m , então a gente pode mandar , ou seja . Cada termo vira . E tem exatamente termos somados. Assim o denominador no limite é

Resposta

limxto araiz[m]x-raiz[m]ax-a = 1m,a^m-1m

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