- Dada tabela dos valores:
x
1
2
5
6
y
5
2
1
10
Determine
e
sabendo que
é um polinômio do segundo grau.
| x | 1 | 2 |
|
5 | 6 |
| y | 5 | 2 | 1 |
|
10 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com pares
:
E pede para determinar
e
sabendo que
é um polinômio de segundo grau.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A missão é encontrar o número
(o valor de
tal que
) e o número
, usando a hipótese de que
é um polinômio quadrático.
Passo 2
Vamos representar o polinômio quadrático de forma geral por
onde
,
e
são constantes reais desconhecidas. Aqui
é o coeficiente do termo quadrático,
do termo linear e
o termo constante (valor em
).
Passo 3
Usando os pontos conhecidos
,
e
obtemos três equações lineares em
. Substituindo
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos eliminar
subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira. Subtraindo a equação de
da de
:
logo
Passo 5
Agora subtraindo a equação de
da de
:
Dividindo por
para simplificar:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações em
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (b]:
portanto
]
portanto
Passo 7
Com
usamos
para achar
:
Passo 8
Com
e
usamos
para achar
:
Logo o polinômio é
Passo 9
Para encontrar
usamos a informação
. Isso significa resolver a equação
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 10
Reconhecemos no lado esquerdo um quadrado perfeito:
Então
Observação: a equação tem raiz dupla
, ou seja, o polinômio atinge o valor
apenas em
.
Passo 11
Para encontrar
calculamos
com o polinômio encontrado:
Portanto
.
Passo 12
É sempre bom checar rapidamente com os pontos originais:
tudo consistente. E
, como exigido.