1. Dada tabela dos valores:
x 1 2 \alpha 5 6
y 5 2 1 \beta 10
Determine \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio do segundo grau.

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com pares (x,y):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & 1 & 2 & \alpha & 5 & 6 \\\ \hline y & 5 & 2 & 1 & \beta & 10 \end{array}
E pede para determinar \alpha e \beta sabendo que y(x) é um polinômio de segundo grau.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
y(1)=5,\quad y(2)=2,\quad y(\alpha)=1,\quad y(5)=\beta,\quad y(6)=10.
A missão é encontrar o número \alpha (o valor de x tal que y(x)=1) e o número \beta=y(5), usando a hipótese de que y(x) é um polinômio quadrático.

Passo 2

Vamos representar o polinômio quadrático de forma geral por
y(x)=ax^{2}+bx+c,
onde a, b e c são constantes reais desconhecidas. Aqui \,a é o coeficiente do termo quadrático, \,b do termo linear e \,c o termo constante (valor em x=0).

Passo 3

Usando os pontos conhecidos y(1)=5, y(2)=2 e y(6)=10 obtemos três equações lineares em a,b,c. Substituindo x=1:
a+b+c=5.
Substituindo x=2:
4a+2b+c=2.
Substituindo x=6:
36a+6b+c=10.

Passo 4

Vamos eliminar c subtraindo a primeira equação da segunda e da terceira. Subtraindo a equação de x=1 da de x=2:
(4a+2b+c)-(a+b+c)=3a+b=2-5=-3,
logo
3a+b=-3.

Passo 5

Agora subtraindo a equação de x=2 da de x=6:
(36a+6b+c)-(4a+2b+c)=32a+4b=10-2=8.
Dividindo por 4 para simplificar:
8a+b=2.

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações em a\) e \(b\): \[\begin{cases} 3a+b=-3,\\[4pt] 8a+b=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda para eliminar (b]:
(8a+b)-(3a+b)=5a=2-(-3)=5,
portanto
a=1.]

Passo 7

Com a=1 usamos 3a+b=-3 para achar b:
3\cdot 1 + b = -3 \implies b=-3-3=-6.

Passo 8

Com a=1 e b=-6 usamos a+b+c=5 para achar c:
1+(-6)+c=5 \implies c=5-1+6=10.
Logo o polinômio é
y(x)=x^{2}-6x+10.

Passo 9

Para encontrar \alpha usamos a informação y(\alpha)=1. Isso significa resolver a equação
\alpha^{2}-6\alpha+10=1.
Subtraindo 1 de ambos os lados:
\alpha^{2}-6\alpha+9=0.

Passo 10

Reconhecemos no lado esquerdo um quadrado perfeito:
\alpha^{2}-6\alpha+9=(\alpha-3)^{2}.
Então
(\alpha-3)^{2}=0 \implies \alpha-3=0 \implies \alpha=3.
Observação: a equação tem raiz dupla \alpha=3, ou seja, o polinômio atinge o valor 1 apenas em x=3.

Passo 11

Para encontrar \beta calculamos y(5) com o polinômio encontrado:
y(5)=5^{2}-6\cdot 5 +10 =25-30+10=5.
Portanto \beta=5.

Passo 12

É sempre bom checar rapidamente com os pontos originais:
y(1)=1-6+10=5,\quad y(2)=4-12+10=2,\quad y(6)=36-36+10=10,
tudo consistente. E y(3)=9-18+10=1, como exigido.

Resposta

\alpha=3
\beta=5

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