Calcule o valor aproximado da integral
com precisão de 4 casas decimais usando:
a) A regra dos trapézios simples;
b) A regra de Simpson simples;
c) A regra dos trapézios com 6 subintervalos;
d) A regra de Simpson com 6 subintervalos;
e) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra dos trapézios;
f) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra de Simpson;
g) Compare os resultados.
a) A regra dos trapézios simples;
b) A regra de Simpson simples;
c) A regra dos trapézios com 6 subintervalos;
d) A regra de Simpson com 6 subintervalos;
e) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra dos trapézios;
f) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra de Simpson;
g) Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação de
com precisão de quatro casas decimais usando as regras dos trapézios e de Simpson (simples e compostas com
subintervalos). Para isso precisamos dos valores de
nos nós apropriados: em
para as regras simples, e em
para as regras com 6 subintervalos.
Passo 2
Aplicando a regra dos trapézios simples (
,
):
Passo 3
Aplicando a regra de Simpson simples (
,
):
Passo 4
Calculamos agora as regras compostas com
,
. Os valores de
são:
a) Trapézio composto:
b) Simpson composto:
Passo 5
Para estimar o erro usamos um valor de referência obtido por trapézio composto com passo
(10 subintervalos), que dá
Logo os erros nas regras com
são
Passo 6
Comparando:
– A regra simples dos trapézios ( ) erra grosseiramente e até dá valor negativo.
– A regra simples de Simpson ( ) melhora, mas ainda está longe.
– Ao subdividir em 6 subintervalos, ambos melhoram: aproxima em torno de 0,78 e
em torno de 0,81.
– O erro de Simpson composto é menor que o do trapézio composto, mostrando a maior ordem de convergência de Simpson.
– A regra simples dos trapézios (
– A regra simples de Simpson (
– Ao subdividir em 6 subintervalos, ambos melhoram:
– O erro de Simpson composto é menor que o do trapézio composto, mostrando a maior ordem de convergência de Simpson.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) O método de Simpson composto dá aproximação mais precisa que o trapézio composto; aumentar o número de subintervalos reduz bastante o erro.
b)
c)
d)
e)
f)
g) O método de Simpson composto dá aproximação mais precisa que o trapézio composto; aumentar o número de subintervalos reduz bastante o erro.