Calcule o valor aproximado da integral \int_{0}^{2}(\operatorname{sen} x^{2}) d x com precisão de 4 casas decimais usando:
a) A regra dos trapézios simples;
b) A regra de Simpson simples;
c) A regra dos trapézios com 6 subintervalos;
d) A regra de Simpson com 6 subintervalos;
e) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra dos trapézios;
f) Calcule o erro cometido na aproximação da integral pela regra de Simpson;
g) Compare os resultados.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
I=\int_{0}^{2}\sin(x^{2})\,dx
com precisão de quatro casas decimais usando as regras dos trapézios e de Simpson (simples e compostas com n=6 subintervalos). Para isso precisamos dos valores de f(x)=\sin(x^{2}) nos nós apropriados: em x=0,1,2 para as regras simples, e em x_{i}=0,\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3},1,\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3},2 para as regras com 6 subintervalos.

Passo 2

Aplicando a regra dos trapézios simples ( n=1, h=2):
T_{1}=\frac{h}{2}\bigl(f(0)+f(2)\bigr) =\frac{2}{2}\bigl(0+\sin(4)\bigr) =\sin(4)\approx-0,7568.

Passo 3

Aplicando a regra de Simpson simples ( n=2, h=1):
S_{1}=\frac{h}{3}\bigl(f(0)+4f(1)+f(2)\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(0+4\sin(1)+\sin(4)\bigr) \approx\frac{1}{3}(4\cdot0,841471-0,756802) \approx0,8697.

Passo 4

Calculamos agora as regras compostas com n=6, h=2/6=1/3. Os valores de f(x_{i}) são:
\begin{aligned} f(0)&=0,\\\ f\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)&\approx\sin(0{,}1111)\approx0,1109,\\\ f\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)&\approx\sin(0{,}4444)\approx0,4309,\\\ f(1)&=\sin(1)\approx0,8415,\\\ f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)&\approx\sin(1{,}7778)\approx0,9781,\\\ f\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)&\approx\sin(2{,}7778)\approx0,3552,\\\ f(2)&=\sin(4)\approx-0,7568. \end{aligned}
a) Trapézio composto:
T_{6}=\frac{h}{2}\bigl(f_{0}+f_{6}\bigr)+h\sum_{i=1}^{5}f_{i} =\frac{1/3}{2}\bigl(0-0,7568\bigr) +\frac{1}{3}(0,1109+0,4309+0,8415+0,9781+0,3552) \approx0,7794.
b) Simpson composto:
S_{6}=\frac{h}{3}\Bigl(f_{0}+f_{6}+4\sum_{i\text{ ímpar}}f_{i} +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,6}f_{i}\Bigr) \approx0,8101.í

Passo 5

Para estimar o erro usamos um valor de referência obtido por trapézio composto com passo h=0,2 (10 subintervalos), que dá
I_{\text{ref}}\approx0,7960.
Logo os erros nas regras com n=6 são
E_{T}=|T_{6}-I_{\text{ref}}|\approx|0,7794-0,7960|=0,0166,
E_{S}=|S_{6}-I_{\text{ref}}|\approx|0,8101-0,7960|=0,0141.

Passo 6

Comparando:
– A regra simples dos trapézios ( T_{1}) erra grosseiramente e até dá valor negativo.
– A regra simples de Simpson ( S_{1}) melhora, mas ainda está longe.
– Ao subdividir em 6 subintervalos, ambos melhoram: T_{6} aproxima em torno de 0,78 e S_{6} em torno de 0,81.
– O erro de Simpson composto é menor que o do trapézio composto, mostrando a maior ordem de convergência de Simpson.

Resposta

a) T_{1}=\sin(4)\approx-0,7568
b) S_{1}\approx0,8697
c) T_{6}\approx0,7794
d) S_{6}\approx0,8101
e) E_{T}=|T_{6}-I_{\text{ref}}|\approx0,0166
f) E_{S}=|S_{6}-I_{\text{ref}}|\approx0,0141
g) O método de Simpson composto dá aproximação mais precisa que o trapézio composto; aumentar o número de subintervalos reduz bastante o erro.

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