A tabela abaixo apresenta o resultado de um experimento feito em laborat orio, onde se mediu a posição de uma partícula em 6 instantes diferentes.
tempo(s) posição (m)
1,2 1,1
2,3 2,1
3,0 3,1
3,8 4,0
4,7 4,9
5,9 5,9
a) Utilizando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta \mathrm{x}=\mathrm{b}+ at que melhor ajusta os pontos da tabela, sendo x a posição da partícula e t o tempo.
b) Use essa reta para estimar a posição da partícula no instante \mathrm{t}=7 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece seis medições da posição x de uma partícula em instantes t distintos e pede que ajustemos uma reta
x = b + a\,t
pelo método dos mínimos quadrados. Para isso vamos usar as equações normais:
\sum x = n\,b + a\sum t, \qquad \sum t\,x = b\sum t + a\sum t^2,
onde n=6. Precisamos então calcular \sum t, \sum x, \sum t^2 e \sum t\,x.

Passo 2

Calculamos as somas dos dados:
\begin{aligned} \sum t &= 1{,}2 + 2{,}3 + 3{,}0 + 3{,}8 + 4{,}7 + 5{,}9 = 20{,}9,\\\ \sum x &= 1{,}1 + 2{,}1 + 3{,}1 + 4{,}0 + 4{,}9 + 5{,}9 = 21{,}1,\\\ \sum t^2 &= 1{,}2^2 + 2{,}3^2 + 3{,}0^2 + 3{,}8^2 + 4{,}7^2 + 5{,}9^2 = 87{,}07,\\\ \sum t\,x &= 1{,}2\cdot1{,}1 + 2{,}3\cdot2{,}1 + 3{,}0\cdot3{,}1 + 3{,}8\cdot4{,}0 + 4{,}7\cdot4{,}9 + 5{,}9\cdot5{,}9 = 88{,}49. \end{aligned}

Passo 3

Aplicamos a fórmula do coeficiente angular a:
a = \frac{n\sum t\,x - (\sum t)(\sum x)}{n\sum t^2 - (\sum t)^2} = \frac{6\cdot88{,}49 - 20{,}9\cdot21{,}1}{6\cdot87{,}07 - (20{,}9)^2} = \frac{530{,}94 - 440{,}99}{522{,}42 - 436{,}81} = \frac{89{,}95}{85{,}61} \approx 1{,}051.

Passo 4

Calculamos agora o coeficiente linear b pela segunda fórmula:
b = \frac{\sum x - a\sum t}{n} = \frac{21{,}1 - 1{,}051\cdot20{,}9}{6} = \frac{21{,}1 - 21{,}96}{6} \approx -0{,}141.

Passo 5

A reta ajustada é
x = -0,141 + 1,051\,t.
Para estimar a posição em t=7,s, fazemos
x(7) = -0,141 + 1,051 \cdot 7 \approx -0,141 + 7,357 \approx 7,216\\ \text{m}.

Resposta

a) x = -0,141 + 1,051\,t.
b) Em t = 7,s, x(7) \approx 7,22,m.

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