A tabela abaixo apresenta o resultado de um teste realizado com 6 digitadores de idades diferentes. Nesse teste avaliou-se quantas palavras por minuto cada um é capaz de digitar.
Idade do digitador Palavras por minuto
25 78
30 70
35 65
40 58
45 48
50 42
a) Utilizando o método dos mínimos quadrados, encontre a reta \mathrm{y}=\mathrm{b}+\mathrm{ax} que melhor ajusta os pontos da tabela, sendo x a idade do digitador e y o número de palavras por minuto que ele é capaz de digitar.
b) Use essa reta para estimar quantas palavras por minuto um digitador de 55 anos e capaz de digitar.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos seis pares de dados (x_i,y_i), sendo x_i a idade do digitador e y_i as palavras por minuto. Vamos ajustar uma reta
y = b + a\,x
pelo método dos mínimos quadrados, isto é, calculamos a inclinação a e o coeficiente linear b que minimizam o erro quadrático.

Passo 2

Primeiro calculamos as médias dos valores de x e de y:
\bar x = \frac{25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50}{6} = 37,5,
\bar y = \frac{78 + 70 + 65 + 58 + 48 + 42}{6} \approx 60,1667.

Passo 3

Em seguida computamos
S_{xx} = \sum_{i=1}^6 (x_i - \bar x)^2, \quad S_{xy} = \sum_{i=1}^6 (x_i - \bar x)(y_i - \bar y).
Calculando cada termo temos
S_{xx} = 156{,}25 + 56{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 + 56{,}25 + 156{,}25 = 437{,}5,
S_{xy} = -222{,}9167 -73{,}75 -12{,}0833 -5{,}4167 -91{,}25 -227{,}0833 = -632{,}5.
Logo a inclinação é
a = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-632{,}5}{437{,}5} \approx -1,446.

Passo 4

Agora o coeficiente linear vem de
b = \bar y - a\,\bar x \approx 60{,}1667 - (-1{,}446)\times37{,}5 \approx 114{,}403.
Portanto a reta ajustada é
\hat y = 114{,}403 \;-\; 1{,}446\,x.

Passo 5

Para estimar a produtividade de um digitador de 55 anos, substituímos x=55:
\hat y(55) = 114{,}403 - 1{,}446 \times 55 \approx 34{,}857.
Assim, espera-se que ele digite cerca de 35 palavras por minuto.

Resposta

Reta ajustada: \displaystyle \hat y = 114{,}403 - 1{,}446\,x.
Estimativa para x=55: aproximadamente 35 palavras por minuto.

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