Calcule valor aproximado da integral integral0^1 / 2 x^2 d x utilizando regra de trapézios repetida, dividindo o intervalo por dois subintervalos (h=1 / 4).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a integral
integral0^1/2 x^2 ,dx
usando a regra dos trapézios composta (ou repetida), dividindo o intervalo em dois pedaços iguais, ou seja subintervalos e .
Conteúdo: método numérico de integração (regra dos trapézios composta).
O que vamos precisar:
  • Entender a fórmula da regra dos trapézios composta;
  • Calcular os pontos e os valores ;
  • Aplicar a fórmula para obter a aproximação.

Passo 2

Teoria rapidinha:
A regra dos trapézios composta para integrala^b f(x),dx approx h2l[f(x0) + 2,f(x1) + 2,f(x2) + cdots + 2,f(xn-1) + f(xn)r] subintervalos e diz que
No nosso caso:
  • , , , então .
  • Os pontos são , , .

Passo 3

Agora, calcula os valores da função nesses pontos:

Passo 4

Bora aplicar a fórmula:
[
\int_{0}^{1/2} x^2,dx ;\approx;
\frac{h}{2}\bigl[f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)\bigr]

\frac{1/4}{2}\bigl[0 + 2\cdot0{,}0625 + 0{,}25\bigr].
]
Calculando interno:
integral0^1/2 x^2,dx ;approx; h2l[f(x0) + 2f(x1) + f(x2)r] = 1/42l[0 + 2cdot0,0625 + 0,25r]
Agora:
2cdot0,0625 = 0,125, 0 + 0,125 + 0,25 = 0,375

Resposta

A aproximação da integral pelo método dos trapézios composta (com boxed0,046875 ) é

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