concorda com a expansão de Taylor da segunda ordem até os termos de ordem .
Passo 1
Beleza, vamos provar que o método de Euler aperfeiçoado
“bate” com a expansão de Taylor de até termos em .
Conteúdo: análise de consistência de métodos numéricos, expansão de Taylor e regra da cadeia.
O que precisamos:
A fórmula de Taylor de até segunda ordem.
A expansão de até ordem (multivariada).
Passo 2
Primeiro, escreve a expansão de Taylor de em torno de até :
Como , temos
Ou seja
y(xk+h)=yk+h,f+ h^22l(fx+fy,fr)+O(h^3),
onde, pra simplificar, escrevi f=f(xk,yk), fx=partial f/partial x, fy=partial f/partial y avaliados em (xk,yk).
Comparando com a Taylor de y(xk+h) do Passo 2, vemos que ambos coincidem até o termo em h^2.
Isso mostra que o método tem consistência de segunda ordem.
Resposta
O método de Euler aperfeiçoado reproduz exatamente a expansão de Taylor de y(xk+h) até termos de ordem h^2, ou seja, é de ordem 2.