Demostre que o método de Euler aperfeiçoado
yk+1=yk+h f(xk, yk)+f(xk+h, yk+h f(xk, yk))2
concorda com a expansão de Taylor da segunda ordem até os termos de ordem h^2.

Passo 1

Beleza, vamos provar que o método de Euler aperfeiçoado
yk+1=yk+h,f(xk,yk)+fl(xk+h,;yk+h,f(xk,yk)r)2
“bate” com a expansão de Taylor de y(xk+h) até termos em h^2.
Conteúdo: análise de consistência de métodos numéricos, expansão de Taylor e regra da cadeia.
O que precisamos:
  • A fórmula de Taylor de y(x) até segunda ordem.
  • A expansão de f(x+h,y+h,f) até ordem h^1 (multivariada).

Passo 2

Primeiro, escreve a expansão de Taylor de y(x) em torno de xk até O(h^3):
y(xk+h)=y(xk)+h,y'(xk)+h^22,y''(xk)+O(h^3)
Como y'(x)=f(x,y(x)), temos
y'(xk)=f(xk,yk) e y''(xk)=ddxfl(x,y(x)r)|xk =;fx(xk,yk)+fy(xk,yk),y'(xk)
Ou seja
y(xk+h)=yk+h,f+ h^22l(fx+fy,fr)+O(h^3),
onde, pra simplificar, escrevi f=f(xk,yk), fx=partial f/partial x, fy=partial f/partial y avaliados em (xk,yk).

Passo 3

Agora faz a expansão de
fl(xk+h,;yk+h,f(xk,yk)r)
usando Taylor multivariada até termos em h^1:
f(xk+h,yk+h,f) =f+ h;fx + h;fy,f +O(h^2)

Passo 4

Substitui essa expansão na regra do método:
yk+1 =yk +h,f + l[f +h(fx+fy,f)+O(h^2)r]2 =yk + h,f + h^22,(fx+fy,f) +O(h^3)

Passo 5

Comparando com a Taylor de y(xk+h) do Passo 2, vemos que ambos coincidem até o termo em h^2.
Isso mostra que o método tem consistência de segunda ordem.

Resposta

O método de Euler aperfeiçoado reproduz exatamente a expansão de Taylor de y(xk+h) até termos de ordem h^2, ou seja, é de ordem 2.

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