Dada tabela dos valores:
x | 0 | 1 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 9 |
|
1 |
|
4 |
Determine
e
sabendo que
é polinômio do segundo grau.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma função
que é um polinômio de segundo grau (ou seja, da forma
). Eles dão alguns pares
numa tabela:
x | 0 | 1 | 4 | 5 | 7 |
---|---|---|---|---|---|
y | 9 |
|
1 |
|
4 |
O objetivo é descobrir os valores de
e
de modo que TODOS esses pontos fiquem numa mesma parábola (grau 2).
Para resolver, vamos usar:
Para resolver, vamos usar:
- Modelo geral do polinômio de 2º grau:
. - Substituir os pontos que já conhecemos para montar um sistema de equações lineares em
, e . - Resolver esse sistema para
. - Substituir os valores de
e nesse polinômio achado para obter e .
Passo 2
Começamos montando o modelo
Aplicamos o ponto
,
:
Isso já nos dá
.
Passo 3
Agora usamos os pontos
,
e
,
.
— Para :
— Para
Se dividirmos por 4, fica
— Para
:
Podemos deixar assim:
Passo 4
Resolvendo o sistema (1) e (2):
(1) 7,(4a + b) = 7cdot(-2) Longrightarrow 28a + 7b = -14
(2) (49a+7b) - (28a+7b) = -5 - (-14) Longrightarrow 21a = 9 Longrightarrow a = 921 = 37
(1)
(2)
Podemos multiplicar a equação (1) por 7:
Subtraindo essa da (2):
Agora, em (1),
:
E já tínhamos
.
Passo 5
Temos então o polinômio
Basta avaliar em
alpha = y(1) = 37cdot1^2 - 267cdot1 + 9 = 37 - 267 + 637 = 3 - 26 + 637 = 407 para achar
beta = y(5) = 37cdot25 - 267cdot5 + 9 = 757 - 1307 + 637 = 75 - 130 + 637 = 87 , e em
para achar
.
— Para
:
— Para
: