Dada tabela dos valores:
x 0 1 4 5 7
y 9 alpha 1 beta 4
Determine alpha e beta sabendo que y(x) é polinômio do segundo grau.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma função que é um polinômio de segundo grau (ou seja, da forma ). Eles dão alguns pares numa tabela:
x 0 1 4 5 7
y 9 1 4
O objetivo é descobrir os valores de e de modo que TODOS esses pontos fiquem numa mesma parábola (grau 2).
Para resolver, vamos usar:
  1. Modelo geral do polinômio de 2º grau: .
  2. Substituir os pontos que já conhecemos para montar um sistema de equações lineares em , e .
  3. Resolver esse sistema para .
  4. Substituir os valores de e nesse polinômio achado para obter e .

Passo 2

Começamos montando o modelo
y(x)=ax^2+bx+c
Aplicamos o ponto 9 = acdot0^2 + bcdot0 + c Longrightarrow c = 9 , :
Isso já nos dá .

Passo 3

Agora usamos os pontos 1 = acdot 4^2 + bcdot4 + c Longrightarrow 1 = 16a + 4b + 9 Longrightarrow 16a + 4b = 1 - 9 = -8 , 4a + b = -2 tag1 e 4 = acdot7^2 + bcdot7 + 9 Longrightarrow 4 = 49a + 7b + 9 Longrightarrow 49a + 7b = 4 - 9 = -5 , 49a + 7b = -5 tag2 .
— Para :
Se dividirmos por 4, fica
— Para :
Podemos deixar assim:

Passo 4

Resolvendo o sistema (1) e (2):
(1) 7,(4a + b) = 7cdot(-2) Longrightarrow 28a + 7b = -14
(2) (49a+7b) - (28a+7b) = -5 - (-14) Longrightarrow 21a = 9 Longrightarrow a = 921 = 37
Podemos multiplicar a equação (1) por 7:
4cdot37 + b = -2 Longrightarrow 127 + b = -2 Longrightarrow b = -2 - 127 = -147 - 127 = -267
Subtraindo essa da (2):
Agora, em (1), :
E já tínhamos .

Passo 5

Temos então o polinômio
y(x) = 37x^2 - 267x + 9
Basta avaliar em alpha = y(1) = 37cdot1^2 - 267cdot1 + 9 = 37 - 267 + 637 = 3 - 26 + 637 = 407 para achar beta = y(5) = 37cdot25 - 267cdot5 + 9 = 757 - 1307 + 637 = 75 - 130 + 637 = 87 , e em para achar .
— Para :
— Para :

Resposta

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