Encontre polinômio interpolador para função sen(x) sobre três pontos: x1=0, x2=pi / 2, x3=pi.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos
com valores dados por .
Isso é interpolação polinomial (conteúdo: Fórmula de Lagrange). Vamos usar a ideia de “polinômio que encaixa exatamente nos pontos” e a fórmula de Lagrange pra montar tudo.

Passo 2

Teoria rapidinha:
Queremos um polinômio
P(x)=sumi=1^3 yi,Li(x)
onde cada base Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj, é
Aqui . O lance é construir cada e somar .

Passo 3

Primeiro, os valores:
Então só o termo sen(x1)=sen(0)=0, sen(x2)=senl(tfracpi2r)=1, sen(x3)=sen(pi)=0 sobrevive (os outros são multiplicados por zero).
P(x)=1cdot L2(x)
Agora:
L2(x) =x - x1x2 - x1;cdot;x - x3x2 - x3 =x - 0tfracpi2 - 0;cdot;x - pitfracpi2 - pi =xtfracpi2;cdot;x-pi-tfracpi2

Passo 4

Bastou simplificar:
L2(x) =l(tfrac2xpir);cdot;l(-tfrac2(x-pi)pir) =-4x,(x-pi)pi^2 =-4x^2pi^2+4pi xpi^2 =-4pi^2x^2+4pix

Resposta

O polinômio interpolador de grau 2 é
boxedP(x)=-4pi^2,x^2+4pi,x

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