Calcule o valor aproximado da integral0^pi sen(x^2) d x fazendo uso da integração pela Regra de Romberg com N=3.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^pisin(x^2),dx
usando a integração pela Regra de Romberg com N=3.
Isso faz parte de “integração numérica”: a ideia é primeiro usar a regra do trapézio (simples e composta) pra obter várias aproximações T0 = b-a2l(f(a)+f(b)r) refinando o passo, e depois aplicar extrapolação de Richardson (a “tabela de Romberg”) pra melhorar a precisão.
Para resolver vamos precisar:
  1. A fórmula do trapézio simples Tk = 12,Tk-1 ;+;hk2sumnovos xif(xi), hk = b-a2^k
  2. A fórmula do trapézio composto recursivo R(k,j) = R(k,j-1) + R(k,j-1)-R(k-1,j-1)4^j - 1
  3. A fórmula de extrapolação de Richardson

Passo 2

Calcular h0 = pi, T0 = pi2l(sin(0^2)+sin(pi^2)r) = pi2l(0 + sin(pi^2)r) approx pi2(-0.4339) approx -0.6819 para T1 = 12T0 + h12,sin!l((tfracpi2)^2r) = tfrac12(-0.6819) + tfracpi/22cdot0.6240 approx 0.1494 , T2 = 12T1 + h22l[sin((tfracpi4)^2) + sin((tfrac3pi4)^2)r] approx 0.0385 :
  1. T3 = 12T2 + h32 summ=1^4 sin!l((2m-1)tfracpi8r)^2 approx 0.5836 :
  2. : , adiciona-se :
  3. : , novos :
  4. : , novos :

Passo 3

Agora a tabela de Romberg , onde :
j\k 0 1 2 3
0
1
2
3

Resposta

A aproximação pela Regra de Romberg com R(3,3)approx 0.8296 fica

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