Utilizando a interpolação na forma de Newton, para o quadro abaixo, determine o valor de f(4,8).
x 1 2 5 10
f(x) 1 7 100 600

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá quatro pontos
(1,1),;(2,7),;(5,100),;(10,600)
e pede para usar interpolação de Newton pra achar .
Conteúdo: diferenças divididas e forma interpoladora de Newton.
O que precisamos:
  1. Calcular as diferenças divididas de 1ª, 2ª e 3ª ordem;
  2. Montar o polinômio de Newton;
  3. Avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Vamos fazer a tabela de diferenças divididas de 1ª ordem. Seja f[x0,x1]=f(2)-f(1)2-1 =7-11=6, .
  • f[x1,x2]=100-75-2 =933=31,
  • f[x2,x3]=600-10010-5 =5005=100
Agora

Passo 3

Diferenças de 2ª e 3ª ordem:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]5-1 =31-64 =254 =6.25,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]10-2 =100-318 =698 =8.625,
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]10-1 =8.625-6.259 =2.3759 approx0.2638889

Passo 4

O polinômio de Newton de grau 3 é
P(x)=f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
P(x)=1 +6(x-1) +6.25,(x-1)(x-2) +0.2638889,(x-1)(x-2)(x-5)
Agora avalia em P(4.8)approx1+22.8+66.5-0.56156 approx89.73844 :
Somando tudo:

Resposta

f(4.8)approx89.7384

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