Calcule o valor aproximado da integral0^3 e^x^2 d x fazendo uso da integração pela Regra de Romberg com N=3.

Passo 1

Beleza, o problema pede para aproximar a integral
integral0^3 e^x^2,dx
usando a Regra de Romberg com Rk,j ;=; Rk,j-1 ;+;Rk,j-1-Rk-1,j-14^,j-1-1 .
Isso envolve dois conteúdos principais:
  1. A Regra do Trapézio composta (para gerar as primeiras aproximações).
  2. A extrapolação de Richardson (para montar a tabela de Romberg).
Vamos precisar:
– Calcular (Regra do Trapézio com 1, 2 e 4 subintervalos).
– Combinar esses s para obter via

Passo 2

Primeiro, a Regra do Trapézio com 1 subintervalo ( h = b-a1 = 3 ).
– Comprimento do intervalo T1 = h2l[f(0)+f(3)r] = 32l(e^0^2+e^3^2r) = tfrac32l(1 + e^9r) , T1 approx 1.5,(1 + 8103.0839) approx 12156.1259 :
– Fórmula do trapézio simples:
Numericamente, , logo

Passo 3

Agora, a Regra do Trapézio com 2 subintervalos ( T2 = h2l[f(x0)+2f(x1)+f(x2)r] = 1.52l(e^0+2e^(1.5)^2+e^9r) ).
T2 approx 0.75l(1 + 2cdot9.4877 + 8103.0839r) approx 6092.2945 . Pontos: , , .
– Fórmula composta:
Como , dá

Passo 4

Regra do Trapézio com 4 subintervalos ( T3 = T4 = h2l[f(x0) +2sumi=1^3f(xi)+f(x4)r] ).
T4approx 0.375l(1 + 2(1.7551+9.4877+158.0) + 8103.0839r) approx 3166.33 . Pontos .
Isso dá, com e :

Passo 5

Montamos a primeira coluna de Romberg:
R1,1=T1, R2,1=T2, R3,1=T4
Agora a extrapolação de Richardson para a 2ª coluna ( R2,2 = R2,1 + R2,1-R1,14^1-1 = T2 + T2-T13 approx 6092.2945 + 6092.2945-12156.12593 approx 4071.0174, ):
R3,2 = R3,1 + R3,1-R2,13 = T4 + T4-T23 approx 3166.33 + 3166.33 -6092.29453 approx 2191.0087

Passo 6

Por fim, a entrada R3,3 = R3,2 + R3,2-R2,24^2-1 = R3,2 + R3,2-R2,215 approx 2191.0087 + 2191.0087-4071.017415 approx 2065.6748 na tabela de Romberg:

Resposta

A aproximação de boxed2065.67 (aprox) pela Regra de Romberg com é

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