Considerando a função f(x)=sen(x) cdot cos (x), temos a seguinte tabela dos valores de f(x) no intervalo [0, pi]. ((use 4 casas decimais em todos os itens))
x 0 pi2 pi
f(x) 0 0 0
a) Calcule o polinômio p(x) que aproxima a função f(x) neste intervalo.
b) Calcule p(1,3) e f(1,3)
c) Sabendo que o erro é dado por E(x)=|p(x)-f(x)|, calcule E(1,3).
d) Lembrando que a integral de Newton-Cotes é definida como IN C=integral0^pi p(x) d x, calcule IN C para obter um valor aproximado de integral0^pi f(x) d x
e) Utilizando o Cálculo I, sabemos que integral0^pi f(x) d x=0, qual o valor do erro obtido pela aproximação dada no item (d)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre a função

no intervalo f(x)=sen(x)cdotcos(x), e ela dá os valores de c|ccc x&0&pi2&pihline f(x)&0&0&0 em três pontos:

O que precisamos usar aqui:
1) Interpolação de Lagrange (polinômio de grau ≤2 nos três pontos).
2) Cálculo de valores e do erro .
3) Newton–Cotes (integral do polinômio) e comparação com a integral exata.

Passo 2

Vamos montar o polinômio de Lagrange, que é
p(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde os nós são Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj , p(x)=0cdot L0(x)+0cdot L1(x)+0cdot L2(x)=0 , . Cada base é do tipo
Mas note que . Isso faz

Passo 3

Agora dá para responder (b):
  • f(1,3)=sen(1,3)cos(1,3)=tfrac12,sen(2cdot1,3)=tfrac12,sen(2,6) .
  • Para sen(2,6)approx0,5159Longrightarrow f(1,3)approx0,5cdot0,5159=0,2579 , uso a identidade
Calculando numericamente (com 4 casas):

Passo 4

Erro em E(1,3)=l|p(1,3)-f(1,3)r|=l|0-0,2579r|=0,2579 :

Passo 5

Integral Newton–Cotes (i.e. integral do polinômio):
INC=integral0^pip(x),dx=integral0^pi0,dx=0

Passo 6

Como pelo Cálculo I a integral exata é
o erro final da aproximação é
integral0^pif(x),dx =integral0^pitfrac12sen(2x),dx =l[-tfrac14cos(2x)r]0^pi =0,

Resposta

a) .
b) , .
c) .
d) .
e) Erro na integral ≈ 0.

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