Considerando a função , temos a seguinte tabela dos valores de no intervalo . ((use 4 casas decimais em todos os itens))
0
0
0
0
a) Calcule o polinômio que aproxima a função neste intervalo.
b) Calcule e
c) Sabendo que o erro é dado por , calcule .
d) Lembrando que a integral de Newton-Cotes é definida como , calcule para obter um valor aproximado de
e) Utilizando o Cálculo I, sabemos que , qual o valor do erro obtido pela aproximação dada no item (d)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre a função
no intervalo , e ela dá os valores de em três pontos:
O que precisamos usar aqui:
1) Interpolação de Lagrange (polinômio de grau ≤2 nos três pontos).
2) Cálculo de valores e do erro .
3) Newton–Cotes (integral do polinômio) e comparação com a integral exata.
Passo 2
Vamos montar o polinômio de Lagrange, que é
onde os nós são , , . Cada base é do tipo
Mas note que . Isso faz
Passo 3
Agora dá para responder (b):
.
Para , uso a identidade
Calculando numericamente (com 4 casas):
Passo 4
Erro em :
Passo 5
Integral Newton–Cotes (i.e. integral do polinômio):