Calcule o valor aproximado de
, utilizando o método de RK4. Sabendo que:
,
, considere
.
i
| i |
|
|
|
|
|
|
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor aproximado de
usando o método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4). As informações dadas são:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Passo:
. - Queremos avançar de
até usando RK4 com dois passos ( e ).
Passo 2
Primeiro deixe a equação no formato
. Subtraindo
dos dois lados:
Então definimos a função
Iremos aplicar RK4 com passo
. Recordando as fórmulas de RK4 (para cada iteração
):
Vou calcular passo a passo as duas iterações necessárias.
Passo 3
Primeira iteração:
,
,
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora estime
:
Calcule a soma interna:
Dividindo por 6:
Portanto
E
.
Passo 4
Segunda iteração:
,
,
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Agora estime
(que é
):
Calcule a soma interna:
Dividindo por 6:
Somando a
:
Passo 5
Breve interpretação didática final (pra você lembrar na prova): a cada passo RK4 calcula quatro estimativas de inclinação (
) que correspondem a avaliar
no início do passo, em dois pontos mid-point e no fim do passo; então faz uma média ponderada dessas inclinações para atualizar
. Isso dá precisão de quarta ordem sem precisar derivadas complicadas — por isso é muito usado em provas e computadores.