Usando a forma polinomial de Lagrange, encontre um polinômio interpolador
para a função tabelada abaixo:
0.78
1.04
1.3
1.56
2
2.5
3.6
4.8
a) Calcule a integral
usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada. Qual é o erro de aproximação com relação a solução do item a)?
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0.78 | 1.04 | 1.3 | 1.56 |
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2 | 2.5 | 3.6 | 4.8 |
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada. Qual é o erro de aproximação com relação a solução do item a)?
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos tabulados:
Pede duas coisas:
- (a) Usando a forma polinomial de Lagrange, encontrar o polinômio interpolador
e calcular analiticamente . - (b) Calcular a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada (composta) e comparar com a resposta do item (a) — isto é, achar o erro de aproximação.
Passo 2
Fórmula geral (Lagrange): para pontos
,
,
Vamos primeiro calcular os denominadores
, porque eles aparecem em cada
.
Usando os
dados:
Nota útil: os nós estão igualmente espaçados com passo
(
), o que facilita formas alternativas do polinômio (por exemplo a forma de Newton com diferenças finitas). Vou aproveitar essa simetria para apresentar
numa forma simples, que é algebraicamente equivalente à forma de Lagrange.
Passo 3
Construção do polinômio (forma prática usando diferenças progressivas — é algebraicamente equivalente à forma de Lagrange):
Defino a variável adimensional
Calculo diferenças progressivas a partir dos
:
A forma de Newton (equivalente à Lagrange) para nós igualmente espaçados é
Substituindo os números:
com
.
Observações didáticas:
- Essa expressão é um polinômio de grau 3 em
, logo também em . É a mesma coisa que escrever como soma (a forma de Lagrange); eu usei diferenças finitas por ser mais compacto e menos trabalhoso com aritmética decimal. Se preferir, cada pode ser escrito explicitamente com os denominadores que calculei no passo anterior e a soma dá exatamente o mesmo . - Para a prova: saber escrever
e montar é o exigido; conhecer a forma de Newton com e diferenças é uma maneira prática de chegar ao mesmo polinômio quando os nós são igualmente espaçados.
Passo 4
Integração analítica de
sobre
.
Raciocínio prático e exato:
é um polinômio de grau 3 (cúbico). Para nós igualmente espaçados com 3 subintervalos (três subintervalos de comprimento
), a regra de Newton–Cotes que integra exatamente polinômios de grau até 3 é a regra de Simpson 3/8. A fórmula (composta, para
subintervalos) é:
Aqui
. Então:
e
Portanto a integral exata (pois
é cúbico) é
Comentário: poderia também integrar
termo a termo usando a expressão em
(fazendo mudança de variável
), daria o mesmo valor. O uso da regra 3/8 é uma forma curta e completamente analítica — e exatamente correta para polinômios de grau ≤3.
Passo 5
Integral pela regra do trapézio generalizada (composta) aplicada à tabela.
Fórmula composta (neste caso
subintervalos, passo
):
Substituindo os valores:
Passo 6
Erro de aproximação (comparando a regra do trapézio com a integral exata de
do item (a)):
Erro absoluto:
Erro relativo (percentual), opcional: