Usando a forma polinomial de Lagrange, encontre um polinômio interpolador P(x) para a função tabelada abaixo:
x 0.78 1.04 1.3 1.56
f(x) 2 2.5 3.6 4.8
a) Calcule a integral \int_{0.78}^{1.56} P(x) d x usando o método analítico.
b) Calcule a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada. Qual é o erro de aproximação com relação a solução do item a)?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos tabulados:
(x_0,f_0)=(0{,}78,\,2),\quad (x_1,f_1)=(1{,}04,\,2{,}5),\quad (x_2,f_2)=(1{,}3,\,3{,}6),\quad (x_3,f_3)=(1{,}56,\,4{,}8).
Pede duas coisas:
  1. (a) Usando a forma polinomial de Lagrange, encontrar o polinômio interpolador P(x) e calcular analiticamente \displaystyle\int_{0{,}78}^{1{,}56} P(x)\,dx.
  2. (b) Calcular a integral da função tabelada usando a regra do trapézio generalizada (composta) e comparar com a resposta do item (a) — isto é, achar o erro de aproximação.

Passo 2

Fórmula geral (Lagrange): para pontos (x_j,f_j), j=0,\dots,3,
L_j(x)=\prod_{\substack{m=0\m\ne j}}^{3}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}, \qquad P(x)=\sum_{j=0}^{3} f_j\,L_j(x).
Vamos primeiro calcular os denominadores d_j=\prod_{m\ne j}(x_j-x_m), porque eles aparecem em cada L_j.
Usando os x_j dados:
\begin{aligned} d_0&=(0{,}78-1{,}04)(0{,}78-1{,}3)(0{,}78-1{,}56)=-0{,}26\cdot(-0{,}52)\cdot(-0{,}78)=-0{,}105456,\\\ d_1&=(1{,}04-0{,}78)(1{,}04-1{,}3)(1{,}04-1{,}56)=0{,}26\cdot(-0{,}26)\cdot(-0{,}52)=0{,}035152,\\\ d_2&=(1{,}3-0{,}78)(1{,}3-1{,}04)(1{,}3-1{,}56)=0{,}52\cdot0{,}26\cdot(-0{,}26)=-0{,}035152,\\\ d_3&=(1{,}56-0{,}78)(1{,}56-1{,}04)(1{,}56-1{,}3)=0{,}78\cdot0{,}52\cdot0{,}26=0{,}105456. \end{aligned}
Nota útil: os nós estão igualmente espaçados com passo h=0{,}26 ( x_{j+1}-x_j=0{,}26), o que facilita formas alternativas do polinômio (por exemplo a forma de Newton com diferenças finitas). Vou aproveitar essa simetria para apresentar P(x) numa forma simples, que é algebraicamente equivalente à forma de Lagrange.

Passo 3

Construção do polinômio (forma prática usando diferenças progressivas — é algebraicamente equivalente à forma de Lagrange):
Defino a variável adimensional
t=\frac{x-x_0}{h}=\frac{x-0{,}78}{0{,}26}=\frac{50x-39}{13}.
Calculo diferenças progressivas a partir dos f_j:
\begin{aligned} \Delta f_0&=f_1-f_0=0{,}5,\\\ \Delta f_1&=f_2-f_1=1{,}1,\\\ \Delta f_2&=f_3-f_2=1{,}2,\\\ \Delta^2 f_0&=\Delta f_1-\Delta f_0=0{,}6,\\\ \Delta^3 f_0&=\Delta^2 f_1-\Delta^2 f_0= -0{,}5. \end{aligned}
A forma de Newton (equivalente à Lagrange) para nós igualmente espaçados é
P(x)=f_0+\Delta f_0\,t+\frac{\Delta^2 f_0}{2!}\,t(t-1)+\frac{\Delta^3 f_0}{3!}\,t(t-1)(t-2).
Substituindo os números:
P(x)=2+0{,}5\,t+0{,}3\,t(t-1)-\frac{1}{12}\,t(t-1)(t-2),
com t=\dfrac{50x-39}{13}.
Observações didáticas:
  • Essa expressão é um polinômio de grau 3 em t, logo também em x. É a mesma coisa que escrever P como soma f_jL_j(x) (a forma de Lagrange); eu usei diferenças finitas por ser mais compacto e menos trabalhoso com aritmética decimal. Se preferir, cada L_j(x) pode ser escrito explicitamente com os denominadores que calculei no passo anterior e a soma dá exatamente o mesmo P(x).
  • Para a prova: saber escrever L_j(x) e montar P(x)=\sum f_j L_j(x) é o exigido; conhecer a forma de Newton com t e diferenças é uma maneira prática de chegar ao mesmo polinômio quando os nós são igualmente espaçados.

Passo 4

Integração analítica de P(x) sobre [0{,}78,\,1{,}56].
Raciocínio prático e exato: P(x) é um polinômio de grau 3 (cúbico). Para nós igualmente espaçados com 3 subintervalos (três subintervalos de comprimento h), a regra de Newton–Cotes que integra exatamente polinômios de grau até 3 é a regra de Simpson 3/8. A fórmula (composta, para n=3 subintervalos) é:
\int_{x_0}^{x_3} P(x)\,dx = \frac{3h}{8}\bigl(f_0+3f_1+3f_2+f_3\bigr).
Aqui h=0{,}26. Então:
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot0{,}26}{8}=0{,}0975,
e
f_0+3f_1+3f_2+f_3=2+3\cdot2{,}5+3\cdot3{,}6+4{,}8=25{,}1.
Portanto a integral exata (pois P é cúbico) é
\int_{0{,}78}^{1{,}56} P(x)\,dx = 0{,}0975\cdot25{,}1 = 2{,}44725.
Comentário: poderia também integrar P termo a termo usando a expressão em t (fazendo mudança de variável x\mapsto t), daria o mesmo valor. O uso da regra 3/8 é uma forma curta e completamente analítica — e exatamente correta para polinômios de grau ≤3.

Passo 5

Integral pela regra do trapézio generalizada (composta) aplicada à tabela.
Fórmula composta (neste caso n=3 subintervalos, passo h=0{,}26):
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx h\left(\frac{f_0+f_3}{2} + f_1 + f_2\right).
Substituindo os valores:
\int_{0{,}78}^{1{,}56} f(x)\,dx \approx 0{,}26\Big(\tfrac{2+4{,}8}{2} + 2{,}5 + 3{,}6\Big) =0{,}26\cdot9{,}5 = 2{,}47.

Passo 6

Erro de aproximação (comparando a regra do trapézio com a integral exata de P do item (a)):
Erro absoluto:
\text{erro} = 2{,}47 - 2{,}44725 = 0{,}02275.
Erro relativo (percentual), opcional:
\frac{0{,}02275}{2{,}44725}\approx 0{,}00930\quad\text{(ou seja, aproximadamente }0{,}93\%\text{).}

Resposta

\displaystyle \int_{0{,}78}^{1{,}56} P(x)\,dx = 2{,}44725
\displaystyle\text{Integral (trapézio composta)} = 2{,}47,\qquad\text{erro absoluto} = 0{,}02275é

Exercícios relacionados