Considerando a EDO: y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=2 x, com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=-1. Determine o valor de y(0.3) utilizando o método de Euler com passo de integração \mathrm{h}=0.1.
i x(\mathrm{i}) \mathrm{y}_{1}(\mathrm{i}) \mathrm{y}_{2}(\mathrm{i})
\mathrm{y}_{1}(\mathrm{i}+1)=\mathrm{y}_{1}(\mathrm{i})+\mathrm{hy}^{\prime}{ }_{1}(\mathrm{i})
\mathrm{y}_{2}(\mathrm{i}+1)=\mathrm{y}_{2}(\mathrm{i})+ hy { }^{\prime}{ }_{2}(\mathrm{i})
x(\mathrm{i}+1)=x(\mathrm{i})+\mathrm{h}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de segunda ordem
y''+y'+y=2x
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1. O passo de integração é h=0,1. Pede-se o valor de y(0,3) usando o método de Euler (explícito). As informações relevantes são:
x(0)=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1,\quad h=0,1,\quad \text{queremos } y(0,3).

Passo 2

Para aplicar Euler precisamos transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Definimos
y_{1}=y,\qquad y_{2}=y'.
Então as derivadas são
y_{1}'=y_{2},
y_{2}'=2x-y'-y=2x-y_{2}-y_{1}.
As condições iniciais ficam
y_{1}(0)=1,\qquad y_{2}(0)=-1.
Nosso objetivo é calcular y_{1}(0,3) após três passos ( 0\to0,1\to0,2\to0,3) com h=0,1.

Passo 3

O método de Euler explícito aplica a aproximação
y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_n,y_n)
onde f é a função do lado direito do sistema. Aplicando ao nosso sistema obtemos as recorrências usadas no enunciado:
y_{1}(i+1)=y_{1}(i)+h\,y_{2}(i),
y_{2}(i+1)=y_{2}(i)+h\bigl(2x(i)-y_{2}(i)-y_{1}(i)\bigr),
x(i+1)=x(i)+h.
Aqui y_{1}(i) é a aproximação de y em x(i) e y_{2}(i) é a aproximação de y' em x(i). Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 4

Passo i=0 (condição inicial):
x(0)=0,\quad y_{1}(0)=1,\quad y_{2}(0)=-1.
Calculamos i=0\to1:
x(1)=x(0)+h=0+0,1=0,1.
y_{1}(1)=y_{1}(0)+h\,y_{2}(0)=1+0,1\cdot(-1)=1-0,1=0,9.
y_{2}(1)=y_{2}(0)+h\bigl(2x(0)-y_{2}(0)-y_{1}(0)\bigr)=-1+0,1\bigl(2\cdot0-(-1)-1\bigr).
No parêntese temos 2\cdot0-(-1)-1=0+1-1=0. Logo
y_{2}(1)=-1+0,1\cdot0=-1.
Resumo após x=0,1: y_{1}(1)=0,9,\;y_{2}(1)=-1.

Passo 5

Passo i=1\to2:
x(2)=x(1)+h=0,1+0,1=0,2.
y_{1}(2)=y_{1}(1)+h\,y_{2}(1)=0,9+0,1\cdot(-1)=0,9-0,1=0,8.
y_{2}(2)=y_{2}(1)+h\bigl(2x(1)-y_{2}(1)-y_{1}(1)\bigr)=-1+0,1\bigl(2\cdot0,1-(-1)-0,9\bigr).
Calcule o parêntese: 2\cdot0,1-(-1)-0,9=0,2+1-0,9=0,3. Então
y_{2}(2)=-1+0,1\cdot0,3=-1+0,03=-0,97.
Resumo após x=0,2: y_{1}(2)=0,8,\;y_{2}(2)=-0,97.

Passo 6

Passo i=2\to3:
x(3)=x(2)+h=0,2+0,1=0,3.
y_{1}(3)=y_{1}(2)+h\,y_{2}(2)=0,8+0,1\cdot(-0,97)=0,8-0,097=0,703.
y_{2}(3)=y_{2}(2)+h\bigl(2x(2)-y_{2}(2)-y_{1}(2)\bigr)=-0,97+0,1\bigl(2\cdot0,2-(-0,97)-0,8\bigr).
Calcule o parêntese: 2\cdot0,2-(-0,97)-0,8=0,4+0,97-0,8=0,57. Então
y_{2}(3)=-0,97+0,1\cdot0,57=-0,97+0,057=-0,913.
Resumo após x=0,3: y_{1}(3)=0,703,\;y_{2}(3)=-0,913.

Passo 7

Interpretação e arredondamento: usamos Euler explícito (primeira ordem) e mantivemos três casas decimais para os resultados intermédios quando necessário. O valor aproximado pedido é y(0,3)\approx y_{1}(3)=0,703. Lembre que Euler é só aproximado; para maior precisão usaríamos passo menor ou métodos de ordem superior.

Resposta

y(0,3)=0,703

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