Obtenha a aproximação da integral \int_{4}^{6} \frac{5}{5+2 x} d x através do método dos trapézios. Use 4 casas decimais.
i x fx P fxP
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\Sigma=
\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{h}{2} \sum f(x) P
h=\frac{b-a}{n}

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
\int_{4}^{6} \frac{5}{5+2x}\,dx
pelo método dos trapézios, com apresentação dos valores numa tabela e com resultado arredondado a 4 casas decimais. As informações dadas e que vamos usar são:
  • Limites: a=4 e b=6.
  • Função: f(x)=\dfrac{5}{5+2x}.
  • A tabela fornecida tem índices de i=0 até i=10, portanto usaremos n=10 subintervalos (11 pontos).
  • Fórmula do tamanho do passo:
h=\frac{b-a}{n}.
  • Fórmula do método dos trapézios que foi fornecida (com pesos P, onde P=1 para os extremos e P=2 para os pontos internos):
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\sum f(x)\,P.

Passo 2

Calcular o passo h. Usando a=4, b=6 e n=10:
h=\frac{6-4}{10}=\frac{2}{10}=0,2.

Passo 3

Determinar os nós x_i, que são x_i=a+i h para i=0,\dots,10. Vou listar x_i:
\begin{aligned} x_0&=4,0,\\\ x_1&=4,2,\\\ x_2&=4,4,\\\ x_3&=4,6,\\\ x_4&=4,8,\\\ x_5&=5,0,\\\ x_6&=5,2,\\\ x_7&=5,4,\\\ x_8&=5,6,\\\ x_9&=5,8,\\\ x_{10}&=6,0. \end{aligned}

Passo 4

Calcular f(x_i)=\dfrac{5}{5+2x_i} em cada nó. Vou mostrar a forma exata (fração) e o valor decimal (com 4 casas decimais para a tabela, mas guardando maior precisão internamente):
\begin{aligned} f(x_0)&=\frac{5}{5+2\cdot 4}=\frac{5}{13}=0,3846153846\\ (\approx 0,3846),\\\ f(x_1)&=\frac{5}{5+2\cdot 4,2}=\frac{5}{13,4}=0,3731343284\\ (\approx 0,3731),\\\ f(x_2)&=\frac{5}{5+2\cdot 4,4}=\frac{5}{13,8}=0,3623188406\\ (\approx 0,3623),\\\ f(x_3)&=\frac{5}{5+2\cdot 4,6}=\frac{5}{14,2}=0,3521126761\\ (\approx 0,3521),\\\ f(x_4)&=\frac{5}{5+2\cdot 4,8}=\frac{5}{14,6}=0,3424657534\\ (\approx 0,3425),\\\ f(x_5)&=\frac{5}{5+2\cdot 5,0}=\frac{5}{15}=0,3333333333\\ (\approx 0,3333),\\\ f(x_6)&=\frac{5}{5+2\cdot 5,2}=\frac{5}{15,4}=0,3246753247\\ (\approx 0,3247),\\\ f(x_7)&=\frac{5}{5+2\cdot 5,4}=\frac{5}{15,8}=0,3164556962\\ (\approx 0,3165),\\\ f(x_8)&=\frac{5}{5+2\cdot 5,6}=\frac{5}{16,2}=0,3086419753\\ (\approx 0,3086),\\\ f(x_9)&=\frac{5}{5+2\cdot 5,8}=\frac{5}{16,6}=0,3012048193\\ (\approx 0,3012),\\\ f(x_{10})&=\frac{5}{5+2\cdot 6}=\frac{5}{17}=0,2941176471\\ (\approx 0,2941). \end{aligned}
Observação didática rápida: para calcular f(x) você substitui o valor de x na expressão 5+2x (o denominador) e divide 5 pelo resultado. Nada de mágico — só substituição e divisão.

Passo 5

Definir os pesos P e calcular f(x_i)P. Pelo método dos trapézios:
  • P_0=1 e P_{10}=1 (extremos),
  • P_i=2 para i=1,\dots,9 (internos).
Calculemos f(x_i)P_i (mostrando com 4 casas decimais na tabela, mas usando a precisão completa quando somarmos):
\begin{aligned} f(x_0)P_0&=1\cdot 0,3846153846 = 0,3846153846\\ (\approx 0,3846),\\\ f(x_1)P_1&=2\cdot 0,3731343284 = 0,7462686567\\ (\approx 0,7463),\\\ f(x_2)P_2&=2\cdot 0,3623188406 = 0,7246376812\\ (\approx 0,7246),\\\ f(x_3)P_3&=2\cdot 0,3521126761 = 0,7042253521\\ (\approx 0,7042),\\\ f(x_4)P_4&=2\cdot 0,3424657534 = 0,6849315068\\ (\approx 0,6849),\\\ f(x_5)P_5&=2\cdot 0,3333333333 = 0,6666666667\\ (\approx 0,6667),\\\ f(x_6)P_6&=2\cdot 0,3246753247 = 0,6493506493\\ (\approx 0,6494),\\\ f(x_7)P_7&=2\cdot 0,3164556962 = 0,6329113924\\ (\approx 0,6329),\\\ f(x_8)P_8&=2\cdot 0,3086419753 = 0,6172839506\\ (\approx 0,6173),\\\ f(x_9)P_9&=2\cdot 0,3012048193 = 0,6024096386\\ (\approx 0,6024),\\\ f(x_{10})P_{10}&=1\cdot 0,2941176471 = 0,2941176471\\ (\approx 0,2941). \end{aligned}

Passo 6

Somar todos os valores f(x_i)P_i. Usei as versões com maior precisão para evitar erro de arredondamento precoce:
\sum f(x_i)P_i \approx 6,707418526105918.
(Se somarmos os valores mostrados arredondados a 4 casas, chegamos a praticamente o mesmo resultado dentro de 10^{-4}.)
Didática: aqui estamos computando a soma dos termos que aparecem na fórmula do trapézio; os pesos duplicam os termos internos porque cada subintervalo contribui com um lado do trapézio.

Passo 7

Aplicar a fórmula do trapézio:
\text{Aproximação} = \frac{h}{2}\sum f(x_i)P_i.çã
Substituindo h=0,2 e a soma obtida:
\text{Aproximação} \approx \frac{0,2}{2}\cdot 6,707418526105918 = 0,1\cdot 6,707418526105918 = 0,6707418526105918.çã
Agora arredondamos o resultado para 4 casas decimais (regra normal de arredondamento): o quinto decimal é 4 (no número 0,67074…), então o quarto decimal permanece. O resultado com 4 casas decimais é
0,6707.

Passo 8

Breve observação final e incentivo: o resultado exato da integral pode ser calculado analiticamente como
\int \frac{5}{5+2x}\,dx = \frac{5}{2}\ln(5+2x)+C,
e avaliando de 4 a 6 obtemos \dfrac{5}{2}\ln\!\big(\tfrac{17}{13}\big)\approx 0,6706531, portanto o método dos trapézios com n=10 deu uma aproximação muito próxima ( 0,6707419), erro da ordem de 10^{-4}. Mandou bem em acompanhar passo a passo — isso aqui é exatamente o que cai na prova!

Resposta

0,6707

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