Calcule o valor da derivada através do método das diferenças finitas para as seguintes funções. Varie entre os 3 diferentes métodos (passo adiante, passo atrás, diferença central) e utilize ao menos 3 valores de de para certificar de que o cálculo está correto.
f(x)=sec (x)- Ponto x=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada de
f(x) = sec(x)
no ponto usando o método das diferenças finitas: passo à frente, passo atrás e diferença central. A ideia é pegar pelo menos três valores de (tipo , , ) e ver que conforme fica menor, as aproximações convergem. O conteúdo é Diferenciação Numérica, e vamos precisar das fórmulas de diferença finita e saber que .

Passo 2

Primeiro, o método do passo à frente (forward difference). A fórmula geral é
f'(0) approx f(0 + de
Aqui f(0.1)=sec(0.1)=1cos(0.1)approx10,9950042approx1,0050125, e f'(0)approx1,0050125 - 10,1=0,050125 . Vamos testar sec(0.01)approx1cos(0.01)approx1,0000500, .
  1. f'(0)approx1,0000500 - 10,01=0,0050 :
    sec(0.001)approx1,0000005,
    f'(0)approx1,0000005 - 10,001=0,0005
  2. :
  3. :
Repara que conforme fica menor, a aproximação cai em direção a 0.

Passo 3

Agora o método do passo atrás (backward difference):
f'(0)approxf(0) - f(0-de
Mas como f'(0)approx1 - sec(-0.1)0.1=1 - 1.00501250.1=-0.050125 é função par ( f'(0)approx1 - 1.00005000.01=-0.0050 ), a gente vai achar a mesma magnitude do passo à frente, só sinal trocado:
  1. f'(0)approx1 - 1.00000050.001=-0.0005 :
  2. :
  3. :
De novo, conforme , vamos pra 0.

Passo 4

E por fim a diferença central, que costuma ser mais precisa (erro de ordem f'(0)approxf(0+de):
f'(0)approxsec(de
Mas como é par, . Logo
independente de . Perfeito: a aproximação já dá exatamente zero, que é o valor certinho da derivada.

Passo 5

Teoricamente, se derivássemos a mão ddx[sec(x)] = sec(x)tan(x), , teríamos
e em isso vale . Ou seja, todos os nossos métodos convergem para conforme a gente refina , e a diferença central já dá 0 na cara.

Resposta

A derivada de em é .

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