Calcule o valor da derivada através do método das diferenças finitas para as seguintes funções. Varie entre os 3 diferentes métodos (passo adiante, passo atrás, diferença central) e utilize ao menos 3 valores de
para certificar de que o cálculo está correto.
Ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a derivada de
no ponto
usando o método das diferenças finitas: passo à frente, passo atrás e diferença central. A ideia é pegar pelo menos três valores de
(tipo
,
,
) e ver que conforme
fica menor, as aproximações convergem. O conteúdo é Diferenciação Numérica, e vamos precisar das fórmulas de diferença finita e saber que
.
Passo 2
Primeiro, o método do passo à frente (forward difference). A fórmula geral é
Aqui
e
. Vamos testar
.
-
: -
: -
:
Repara que conforme
fica menor, a aproximação cai em direção a 0.
Passo 3
Agora o método do passo atrás (backward difference):
Mas como
é função par (
), a gente vai achar a mesma magnitude do passo à frente, só sinal trocado:
-
: -
: -
:
De novo, conforme
, vamos pra 0.
Passo 4
E por fim a diferença central, que costuma ser mais precisa (erro de ordem
):
Mas como
é par,
. Logo
independente de
. Perfeito: a aproximação já dá exatamente zero, que é o valor certinho da derivada.
Passo 5
Teoricamente, se derivássemos a mão
, teríamos
e em
isso vale
. Ou seja, todos os nossos métodos convergem para
conforme a gente refina
, e a diferença central já dá 0 na cara.
Resposta
A derivada de
em
é
.