Calcule o valor da derivada através do método das diferenças finitas para as seguintes funções. Varie entre os 3 diferentes métodos (passo adiante, passo atrás, diferença central) e utilize ao menos 3 valores de de para certificar de que o cálculo está correto.
f(x)=tan (x)- Ponto x=0;

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a derivada de
f(x)=tan(x)
no ponto usando diferenças finitas. A matéria envolvida é o conceito de derivada como limite de quociente de diferenças e as fórmulas de diferenças finitas (passo adiante, atrás e central). Vamos precisar:
  • Entender que .
  • Saber as fórmulas:
    1. Passo adiante: .
    2. Passo atrás: .
    3. Central: .
  • Escolher pelo menos 3 valores de (vamos usar 0{,}1; 0{,}01; 0{,}001) e ver se dá coisa parecida com 1, que é o valor “teórico” .

Passo 2

Método do passo adiante
Fórmula:
Dad(de
Agora numericamente:
  • Para Dad(0,1)approx0,1003340,1=1,00334 : Dad(0,01)approx0,010000330,01=1,000033 , então Dad(0,001)approx0,001000000330,001=1,00000033
  • Para : , logo
  • Para : , daí

Passo 3

Método do passo atrás
Fórmula:
Datr(de
porque é função ímpar. Assim os valores numéricos são exatamente iguais aos do passo adiante:
1,00334; 1,000033; 1,00000033.

Passo 4

Método da diferença central
Fórmula:
Dcen(de
Ou seja, de novo dá o mesmo pra esses . Numericamente sai 1,00334; 1,000033; 1,00000033.

Resposta

Usando passo adiante, passo atrás ou diferença central com f'(0)=sec^2(0)=1 , a aproximação da derivada é respectivamente
1,00334; 1,000033; 1,00000033,
que converge para o valor teórico

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