Calcule o valor da derivada através do método das diferenças finitas para as seguintes funções. Varie entre os 3 diferentes métodos (passo adiante, passo atrás, diferença central) e utilize ao menos 3 valores de
para certificar de que o cálculo está correto.
Ponto
;
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a derivada de
no ponto
usando diferenças finitas. A matéria envolvida é o conceito de derivada como limite de quociente de diferenças e as fórmulas de diferenças finitas (passo adiante, atrás e central). Vamos precisar:
- Entender que
. - Saber as fórmulas:
- Passo adiante:
. - Passo atrás:
. - Central:
.
- Passo adiante:
- Escolher pelo menos 3 valores de
(vamos usar 0{,}1; 0{,}01; 0{,}001) e ver se dá coisa parecida com 1, que é o valor “teórico” .
Passo 2
Método do passo adiante
Fórmula:
Fórmula:
Agora numericamente:
- Para
: , então - Para
: , logo - Para
: , daí
Passo 3
Método do passo atrás
Fórmula:
Fórmula:
porque
é função ímpar. Assim os valores numéricos são exatamente iguais aos do passo adiante:
1,00334; 1,000033; 1,00000033.
1,00334; 1,000033; 1,00000033.
Passo 4
Método da diferença central
Fórmula:
Fórmula:
Ou seja, de novo dá o mesmo pra esses
. Numericamente sai 1,00334; 1,000033; 1,00000033.
Resposta
Usando passo adiante, passo atrás ou diferença central com
, a aproximação da derivada é respectivamente
1,00334; 1,000033; 1,00000033,
que converge para o valor teórico
1,00334; 1,000033; 1,00000033,
que converge para o valor teórico