Expanda através de Séries de Taylor ou Taylor-Maclaurin
Ponto
;
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para a gente achar a expansão em série de Taylor-Maclaurin de
em torno de
. O tema aqui é “séries de Maclaurin” (que é o caso de Taylor em
), e o que vamos precisar é:
- A série de
. - Substituir
. - Fazer a inversão da série (porque
) usando multiplicação de séries.
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de Maclaurin? É basicamente a Taylor em
:
Porém, tirar derivadas de
direto dá um trabalhão. Em vez disso, a gente usa a série conhecida de
:
Passo 3
Agora troca
. Fica:
Passo 4
Queremos
. Suponha que ela também tenha uma série só com potências de
:
Aí a gente faz
Como o produto tem que dar exatamente
, a gente resolve coeficiente a coeficiente.
Passo 5
Coeficiente de
:
⇒
.
Coeficiente de
:
⇒
⇒
.
Coeficiente de
:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
Coeficiente de
:
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒