Expanda através de Séries de Taylor ou Taylor-Maclaurin
f(x)=sec (x^2)- Ponto x=0;

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente achar a expansão em série de Taylor-Maclaurin de
f(x)=secl(x^2r)
em torno de . O tema aqui é “séries de Maclaurin” (que é o caso de Taylor em ), e o que vamos precisar é:
  1. A série de .
  2. Substituir .
  3. Fazer a inversão da série (porque ) usando multiplicação de séries.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de Maclaurin? É basicamente a Taylor em f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n :
cos t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)! =1 - t^22! + t^44! - t^66! + cdots
Porém, tirar derivadas de direto dá um trabalhão. Em vez disso, a gente usa a série conhecida de :

Passo 3

Agora troca cosl(x^2r) =1 - (x^2)^22! + (x^2)^44! - (x^2)^66! + cdots =1 - x^42 + x^824 - x^12720 + cdots . Fica:

Passo 4

Queremos sec(x^2) = a0 + a1,x^4 + a2,x^8 + a3,x^12 + cdots . Suponha que ela também tenha uma série só com potências de l(1 - tfracx^42 + tfracx^824 - tfracx^12720 + cdotsr) cdot l(a0 + a1 x^4 + a2 x^8 + a3 x^12 + cdotsr) =1 :
Aí a gente faz
Como o produto tem que dar exatamente , a gente resolve coeficiente a coeficiente.

Passo 5

Coeficiente de :
.
Coeficiente de :
.
Coeficiente de :



Coeficiente de :




Resposta

boxed secl(x^2r) =1 + 12,x^4 + 524,x^8 + 61720,x^12 + cdots

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