Nos exercícios abaixo, aproxime a integral utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson. (Arredonde a resposta para três algarismos significativos.)
\int_{0}^{3} \frac{1}{2-2 x+x^{2}} d x, para m=6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Calcular aproximações numéricas da integral \displaystyle \int_{0}^{3} \frac{1}{2-2x+x^{2}}\,dx usando:
    • a Regra do Trapézio composta com m=6 subintervalos;
    • a Regra de Simpson composta com m=6 subintervalos.
  • Dados importantes que o enunciado fornece:
    • Intervalo: [a,b]=[0,3].
    • Número de subintervalos: m=6.
    • Função integranda: f(x)=\dfrac{1}{2-2x+x^{2}}.

Passo 2

Breve explicação das fórmulas que vamos usar (como se fosse a receita passo a passo):
  • Dividimos o intervalo em m subintervalos de mesma largura h:
h=\frac{b-a}{m}.
  • Fórmula composta do Trapézio (para m subintervalos):
T_m = h\left(\frac{f(x_0)+f(x_m)}{2}+\sum_{i=1}^{m-1} f(x_i)\right),
onde x_i=a+i h.
  • Fórmula composta de Simpson (requer m par; aqui m=6 é par):
S_m = \frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_m)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{m-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{m-2} f(x_i)\right).í
Explicando as letras:
  • h é a largura de cada subintervalo.
  • x_0,x_1,\dots,x_m são os pontos de divisão: x_i=a+i h.
  • As somas acima reúnem os valores de f nos pontos intermediários; em Simpson os índices ímpares recebem peso 4 e os pares interiores peso 2.

Passo 3

Calcular h, os pontos x_i e os valores f(x_i). Para facilitar os cálculos observe que
2-2x+x^{2}=(x-1)^{2}+1,
então a função é sempre positiva.
  • Calcule h:
h=\frac{3-0}{6}=0,5.
  • Pontos x_i=a+i h:
x_0=0,\quad x_1=0,5,\quad x_2=1,0,\quad x_3=1,5,\quad x_4=2,0,\quad x_5=2,5,\quad x_6=3,0.
  • Agora f(x)=\dfrac{1}{(x-1)^{2}+1}. Avaliando:
\begin{aligned} f(x_0)=f(0)&=\frac{1}{2}=0,5,\\[4pt] f(x_1)=f(0,5)&=\frac{1}{0,25-1+2}=\frac{1}{1,25}=0,8,\\[4pt] f(x_2)=f(1,0)&=\frac{1}{1}=1,0,\\[4pt] f(x_3)=f(1,5)&=\frac{1}{2,25-3+2}=\frac{1}{1,25}=0,8,\\[4pt] f(x_4)=f(2,0)&=\frac{1}{2}=0,5,\\[4pt] f(x_5)=f(2,5)&=\frac{1}{6,25-5+2}=\frac{1}{3,25}\approx0,3076923077,\\[4pt] f(x_6)=f(3,0)&=\frac{1}{5}=0,2. \end{aligned}]

Passo 4

Aplicando a Regra do Trapézio composta.
  • Primeiro calcule a soma dos pontos interiores:
\sum_{i=1}^{5} f(x_i)=0,8+1,0+0,8+0,5+0,3076923077=3,4076923077.
  • Calcule \dfrac{f(x_0)+f(x_6)}{2}=\dfrac{0,5+0,2}{2}=0,35.
  • Então o termo entre parênteses na fórmula é
0,35+3,4076923077=3,7576923077.
  • Multiplicando por h=0,5:
T_6=0,5\times 3,7576923077=1,87884615385\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Aplicando a Regra de Simpson composta.
  • Somatório dos f(x_i) com i ímpar (i=1,3,5):
\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{5} f(x_i)=0,8+0,8+0,3076923077=1,9076923077.í
  • Somatório dos f(x_i) com i par interior (i=2,4):
\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{4} f(x_i)=1,0+0,5=1,5.
  • Agora a combinação dentro da fórmula:
f(x_0)+f(x_6)+4\cdot(1,9076923077)+2\cdot(1,5)=0,5+0,2+7,6307692308+3,0=11,3307692308.
  • Multiplicando por h/3=(0,5)/3:
S_6=\frac{0,5}{3}\times 11,3307692308=1,88846153847\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Arredondamento final para três algarismos significativos (pedido no enunciado). Vou arredondar cada aproximação para três algarismos significativos.
  • Valor pela Regra do Trapézio: T_6\approx 1,87884615385 arredondado a três algarismos significativos é 1,88.
  • Valor pela Regra de Simpson: S_6\approx 1,88846153847 arredondado a três algarismos significativos é 1,89.
Força aí — você conseguiu seguir todo o cálculo; a Regra de Simpson deu uma aproximação ligeiramente maior que a do Trapézio, como costuma ocorrer quando a função tem curvatura bem comportada no intervalo.

Resposta

Regra do Trapézio: 1,88
Regra de Simpson: 1,89

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