Nos exercícios abaixo, aproxime a integral utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson. (Arredonde a resposta para três algarismos significativos.)
, para
Passo 1
O enunciado pede aproximar a integral
usando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson com
subintervalos. Informações dadas e o que vamos usar:
- Função:
. - Intervalo:
. - Número de subintervalos:
. - Passo:
.
O objetivo final: calcular as aproximações pelas duas regras e arredondar cada resultado para três algarismos significativos.
Passo 2
Cálculo do passo
e definição dos nós.
Os nós são
para
, isto é:
Passo 3
Avaliação da função em cada nó. Para cada
calculo
.
Observação rápida sobre como calculei: para alguns pontos há expressões racionais reconhecíveis (por exemplo
, logo
), nos outros usei aproximações decimais por método numérico com precisão suficiente para o objetivo.]
Passo 4
Aplicação da Regra do Trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio com subintervalos é
A fórmula da Regra do Trapézio com
Substituindo
,
e os valores de
:
Então
Passo 5
Aplicação da Regra de Simpson.
A Regra de Simpson (com par) é
A Regra de Simpson (com
Aqui
então os índices ímpares são
e os pares internos são
.
Calculo das somas:
Substituindo:
Como
,
Passo 6
Arredondamento para três algarismos significativos:
- Regra do Trapézio:
→ três algarismos significativos: . - Regra de Simpson:
→ três algarismos significativos: .
Dica final rápida (motivação): o valor exato desta integral é
. A Regra de Simpson aproxima melhor do que o Trapézio para funções suaves como esta, o que aconteceu aqui (erro menor).
Resposta
Regra do Trapézio:
Regra de Simpson:
Regra de Simpson: