Nos exercícios abaixo, aproxime a integral utilizando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson. (Arredonde a resposta para três algarismos significativos.)
\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x, para m=8

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}}\,dx usando a Regra do Trapézio e a Regra de Simpson com m=8 subintervalos. Informações dadas e o que vamos usar:
  • Função: f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
  • Intervalo: [0,1].
  • Número de subintervalos: m=8.
  • Passo: h=\dfrac{1-0}{8}.
    O objetivo final: calcular as aproximações pelas duas regras e arredondar cada resultado para três algarismos significativos.

Passo 2

Cálculo do passo h e definição dos nós.
h=\frac{1-0}{8}=\frac{1}{8}=0,125.
Os nós são x_i = i\,h para i=0,1,\dots,8, isto é:
x_0=0,\; x_1=0,125,\; x_2=0,25,\; x_3=0,375,\; x_4=0,5,\; x_5=0,625,\; x_6=0,75,\; x_7=0,875,\; x_8=1.

Passo 3

Avaliação da função em cada nó. Para cada i calculo f(x_i)=\sqrt{1-x_i^2}.
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=\sqrt{1-0^2}=1,\\[4pt] f(x_1)&=f(0,125)=\sqrt{1-(0,125)^2}=\sqrt{0,984375}\approx0,992156983,\\[4pt] f(x_2)&=f(0,25)=\sqrt{1-(0,25)^2}=\sqrt{0,9375}\approx0,9682458366,\\[4pt] f(x_3)&=f(0,375)=\sqrt{1-(0,375)^2}=\sqrt{0,859375}\approx0,927025000,\\[4pt] f(x_4)&=f(0,5)=\sqrt{1-(0,5)^2}=\sqrt{0,75}\approx0,8660254038,\\[4pt] f(x_5)&=f(0,625)=\sqrt{1-(0,625)^2}=\sqrt{0,609375}\approx0,7806247498,\\[4pt] f(x_6)&=f(0,75)=\sqrt{1-(0,75)^2}=\sqrt{0,4375}\approx0,6614378278,\\[4pt] f(x_7)&=f(0,875)=\sqrt{1-(0,875)^2}=\sqrt{0,234375}\approx0,4841229183,\\[4pt] f(x_8)&=f(1)=\sqrt{1-1^2}=0. \end{aligned}
Observação rápida sobre como calculei: para alguns pontos há expressões racionais reconhecíveis (por exemplo 0,234375=\tfrac{15}{64}, logo f(x_7)=\sqrt{15}/8), nos outros usei aproximações decimais por método numérico com precisão suficiente para o objetivo.]

Passo 4

Aplicação da Regra do Trapézio.
A fórmula da Regra do Trapézio com m subintervalos é
T=h\left(\frac{f(x_0)+f(x_m)}{2}+\sum_{i=1}^{m-1} f(x_i)\right).
Substituindo h=0,125, m=8 e os valores de f(x_i):
\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx0,992156983+0,9682458366+0,927025000+0,8660254038+0,7806247498+0,6614378278+0,4841229183
\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx5,6796387195.
Então
T=0,125\left(\frac{1+0}{2}+5,6796387195\right)=0,125\cdot6,1796387195\approx0,7724548399.

Passo 5

Aplicação da Regra de Simpson.
A Regra de Simpson (com m par) é
S=\frac{h}{3}\left(f(x_0)+f(x_m)+4\sum_{k=1}^{m/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{m/2-1} f(x_{2k})\right).
Aqui m=8 então os índices ímpares são 1,3,5,7 e os pares internos são 2,4,6.
Calculo das somas:
\sum_{\text{ímpares}} f(x_{2k-1})=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)\approx0,992156983+0,927025000+0,7806247498+0,4841229183\approx3,1839296513,í
\sum_{\text{pares}} f(x_{2k})=f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)\approx0,9682458366+0,8660254038+0,6614378278\approx2,4957090682.
Substituindo:
S=\frac{0,125}{3}\Big(1+0+4\cdot3,1839296513+2\cdot2,4957090682\Big) =\frac{0,125}{3}\cdot18,7271367416.
Como \dfrac{0,125}{3}=\dfrac{1}{24},
S=\frac{18,7271367416}{24}\approx0,7802973634.

Passo 6

Arredondamento para três algarismos significativos:
  • Regra do Trapézio: T\approx0,7724548399 → três algarismos significativos: 0,772.
  • Regra de Simpson: S\approx0,7802973634 → três algarismos significativos: 0,780.
Dica final rápida (motivação): o valor exato desta integral é \dfrac{\pi}{4}\approx0,785398\ldots. A Regra de Simpson aproxima melhor do que o Trapézio para funções suaves como esta, o que aconteceu aqui (erro menor).

Resposta

Regra do Trapézio: 0,772
Regra de Simpson: 0,780

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