Calcule o valor de sen (1.5) através da série
sen(x)=x-x^33!+x^55!-x^77!+ldots+(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!+ldots, n=0,1, ldots,
usando 6 dígitos significativos e erro relativo entre duas aproximações sucessivas menor do que 0.01 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular sin(1.5) usando a série de Taylor de sin(x), mantendo 6 dígitos significativos e parando quando o erro relativo entre aproximações sucessivas for menor que 0.01. Vamos usar os conhecimentos de séries de Taylor, cálculo de potências, fatoriais e critério de erro relativo.

Passo 2

A série de Taylor para sin(x) é
sin(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!=x-x^33!+x^55!-x^77!+cdots
Definimos as aproximações parciais Sn=sumk=0^n(-1)^kx^2k+1(2k+1)! com x=1.5 e verificamos o erro relativo
En=|Sn-Sn-1||Sn|

Passo 3

Calculamos S0 e S1:
Termo k=0:
T0=1.5,
S0=1.5
Termo k=1:
T1=-1.5^33!=-3.3756=-0.5625,
S1=S0+T1=1.5-0.5625=0.9375
Erro relativo:
E1=|0.9375-1.5||0.9375|=0.56250.9375approx0.60>0.01,
ainda não podemos parar.

Passo 4

Calculamos S2:
Termo k=2:
T2=1.5^55!=7.59375120approx0.06328125,
S2=S1+T2=0.9375+0.06328125=1.00078125
Erro relativo:
E2=|1.00078125-0.9375||1.00078125|=0.063281251.00078125approx0.0632>0.01,
continua.

Passo 5

Calculamos S3 e atendemos o critério:
Termo k=3:
T3=-1.5^77!=-17.08593755040approx-0.00339086,
S3=S2+T3=1.00078125-0.00339086=0.99739039
Erro relativo:
E3=|0.99739039-1.00078125||0.99739039|=0.003390860.99739039approx0.0034<0.01
Como E3<0.01, paramos aqui e mantemos a aproximação S3.

Resposta

0.997390

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