Calcule
para
, aplicando o Método de Runge-Kutta de
ordem com
. Estime o erro e compare-o com o erro real sabendo que a solução analítica é
.
Passo 1
Beleza! A gente tem um PVI (problema de valor inicial):
O que a questão pede: usar o Método de Runge–Kutta de 2ª ordem (RK2) com passo
para encontrar uma aproximação de
. Depois, estimar o erro pelo fato de o RK2 ser de ordem 2 e comparar com o erro “verdadeiro”, sabendo que a solução exata é
Pra resolver a gente vai precisar:
- Entender o que é RK2 e suas fórmulas;
- Fazer as dez iterações de 0 até 1 (já que
); - Calcular a solução exata em
; - Comparar e comentar o erro.
Passo 2
Teoria do RK2 (método do ponto médio/improved Euler)
Dados
,
é a estimação em
. O RK2 diz:
Aqui
. Vamos usar isso a cada passo, com
, até
.
Passo 3
Iterando de
até
em passos de 0.1:
n=0:
,
n=1:
,
… e assim por diante. Se você repetir esse processo até
, chega em:
n=9:
,
Então nossa aproximação numérica para
pelo RK2 é
Passo 4
Estimativa teórica de erro
O RK2 tem erro global na ordem de
. Na prática isso significa que, quando
, o erro deve ficar na casa de
, onde
depende de derivadas de
. A gente não costuma calcular
direitinho em problemas de aula, mas já sabemos que o erro vai ser algo em torno de milésimos (porque
).
Passo 5
Cálculo do erro “real” e comparação
- Solução exata em
:
. - Nossa aproximação foi
.
Então o erro real é
.
Isso bate com a ideia de
ou
para
.
Resposta
Aproximação pelo RK2:
.
Erro real:
(em módulo), compatível com a ordem
.
Erro real: