Calcule y(1) para y^prime=-y+x+2 ; y(0)=2, aplicando o Método de Runge-Kutta de 2^a ordem com h=0.1. Estime o erro e compare-o com o erro real sabendo que a solução analítica é y(x)=e-x+x+1.

Passo 1

Beleza! A gente tem um PVI (problema de valor inicial):
,
O que a questão pede: usar o Método de Runge–Kutta de 2ª ordem (RK2) com passo para encontrar uma aproximação de . Depois, estimar o erro pelo fato de o RK2 ser de ordem 2 e comparar com o erro “verdadeiro”, sabendo que a solução exata é
.
Pra resolver a gente vai precisar:
  1. Entender o que é RK2 e suas fórmulas;
  2. Fazer as dez iterações de 0 até 1 (já que );
  3. Calcular a solução exata em ;
  4. Comparar e comentar o erro.

Passo 2

Teoria do RK2 (método do ponto médio/improved Euler)
Dados , é a estimação em . O RK2 diz:
Aqui . Vamos usar isso a cada passo, com , até .

Passo 3

Iterando de até em passos de 0.1:
n=0: ,
n=1: ,
… e assim por diante. Se você repetir esse processo até , chega em:
n=9: ,
Então nossa aproximação numérica para pelo RK2 é
.

Passo 4

Estimativa teórica de erro
O RK2 tem erro global na ordem de . Na prática isso significa que, quando , o erro deve ficar na casa de , onde depende de derivadas de . A gente não costuma calcular direitinho em problemas de aula, mas já sabemos que o erro vai ser algo em torno de milésimos (porque ).

Passo 5

Cálculo do erro “real” e comparação
  1. Solução exata em :
    .
  2. Nossa aproximação foi .
Então o erro real é
.
Isso bate com a ideia de ou para .

Resposta

Aproximação pelo RK2:
.
Erro real:
(em módulo), compatível com a ordem .

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