Considere o P.V.I. . Estime o valor de com e , usando
o Método de Euler;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
Passo 1
Beleza, resumo rápido do que temos:
– Enunciado: P.V.I. (problema de valor inicial)
Queremos estimar usando o Método de Euler com três passos diferentes (, e ), e comparar cada resultado com a solução exata para avaliar o erro.
Matéria: métodos numéricos (Método de Euler).
O que vamos precisar:
• Fórmula do Método de Euler:
• Solução exata do P.V.I.:
Passo 2
Antes de sair fazendo contas, entenda por que a solução exata é essa:
– Como é uma EDO do tipo “crescimento exponencial”, a solução geral é .
– Impõe dá . Logo
Em particular,
Passo 3
Caso .
– Número de passos até : .
– Chute inicial: .
– A cada passo, usamos
.
.
Logo a aproximação em é
Erro absoluto:
Passo 4
Caso yn+1 = yn + 0.25cdot0.04,yn = 1,01,yn .
– y4 = 1000,(1,01)^4 approx 1000cdot1,04060401 = 1040,6040 passos.
– Atualização:
l|1040,8108 - 1040,6040r| approx 0,2068
Então
Erro:
Passo 5
Caso yn+1 = yn + 0.1cdot0.04,yn = 1,004,yn .
– y10 = 1000,(1,004)^10 approx 1000cdot1,0407277 = 1040,7277 passos.
– Atualização:
l|1040,8108 - 1040,7277r| approx 0,0831
Logo
Erro:
Resposta
As estimativas de e respectivos erros absolutos são: