Considere o P.V.I. ly^prime=0.04 y y(0)=1000. Estime o valor de y(1) com h=0.5, h=0.25 e h=0.1, usando
o Método de Euler;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, resumo rápido do que temos:
– Enunciado: P.V.I. (problema de valor inicial)
y' = 0.04,y, y(0)=1000
Queremos estimar yn+1 = yn + h,f(tn,yn) usando o Método de Euler com três passos diferentes ( y(t) = 1000,e^0.04t , e ), e comparar cada resultado com a solução exata para avaliar o erro.
Matéria: métodos numéricos (Método de Euler).
O que vamos precisar:
• Fórmula do Método de Euler:
• Solução exata do P.V.I.:

Passo 2

Antes de sair fazendo contas, entenda por que a solução exata é essa:
– Como yexato(t)=1000,e^0.04t é uma EDO do tipo “crescimento exponencial”, a solução geral é yexato(1) = 1000,e^0.04 approx 1000cdot1,0408108 = 1040,8108 .
– Impõe . Logo
Em particular,

Passo 3

Caso yn+1 = yn + 0.5cdot(0.04,yn) = ynl(1 + 0.04cdot0.5r) = 1,02,yn .
– Número de passos até yEul,,h=0.5(1) = 1040,4 : l|1040,8108 - 1040,4r| approx 0,4108 .
– Chute inicial: .
– A cada passo, usamos
  1. .
  2. .
    Logo a aproximação em é
Erro absoluto:

Passo 4

Caso yn+1 = yn + 0.25cdot0.04,yn = 1,01,yn .
y4 = 1000,(1,01)^4 approx 1000cdot1,04060401 = 1040,6040 passos.
– Atualização:
l|1040,8108 - 1040,6040r| approx 0,2068
Então
Erro:

Passo 5

Caso yn+1 = yn + 0.1cdot0.04,yn = 1,004,yn .
y10 = 1000,(1,004)^10 approx 1000cdot1,0407277 = 1040,7277 passos.
– Atualização:
l|1040,8108 - 1040,7277r| approx 0,0831
Logo
Erro:

Resposta

As estimativas de e respectivos erros absolutos são:
  1. :
  2. :
  3. :

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