Considere o P.V.I.
. Estime o valor de
.
o Método de Runge-Kutta de
ordem com
;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
o Método de Runge-Kutta de
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem o P.V.I.
e quer estimar
usando o Método de Runge–Kutta de 2ª ordem (também chamado de “método do ponto‐médio modificado”) com passo
.
Conteúdo da matéria: métodos numéricos para EDO (equações diferenciais ordinárias), mais precisamente o Runge–Kutta 2ª ordem. Para resolver, precisamos:
Conteúdo da matéria: métodos numéricos para EDO (equações diferenciais ordinárias), mais precisamente o Runge–Kutta 2ª ordem. Para resolver, precisamos:
- reconhecer
; - aplicar o esquema de Runge–Kutta 2:
Passo 2
Antes de cair nos cálculos, entenda a ideia: a cada passo a gente faz uma “predição” (
) e corrige com
, dando um erro local de ordem
e um erro global de ordem
. Como
, o erro global vai crescer como algo proporcional a
.
Passo 3
Agora vamos iterar de
até
em saltos de tamanho
(são
passos). A cada passo
temos
e
estimado.
-
n=0:
,
,
. -
n=1:
,
,
. -
n=2:
,
,
. -
n=3:
,
,
. -
n=4:
,
,
. -
n=5:
,
,
. -
n=6:
,
,
. -
n=7:
,
,
.
Logo, na última iteração chegamos em
com
Passo 4
Para o erro: o Runge–Kutta de 2ª ordem tem erro global na solução que escala como
. Como
, o erro total fica na ordem de
Ou seja, esperávamos um desvio na casa de poucas unidades (da ordem de 4).
Resposta
Aproximamos
com erro global da ordem de
.