Considere o P.V.I. ly^prime=-xy y(0)=-1. Estime o valor de y(16).
o Método de Runge-Kutta de 2^a ordem com h=2;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem o P.V.I.
y'=-dfracxy, y(0)=-1,
e quer estimar y(16) usando o Método de Runge–Kutta de 2ª ordem (também chamado de “método do ponto‐médio modificado”) com passo h=2.
Conteúdo da matéria: métodos numéricos para EDO (equações diferenciais ordinárias), mais precisamente o Runge–Kutta 2ª ordem. Para resolver, precisamos:
  1. reconhecer f(x,y)=-dfracxy;
  2. aplicar o esquema de Runge–Kutta 2:
k1 = h,f(xn,yn), k2 = h,fl(xn+tfrac h2,;yn+tfrack12r), yn+1=yn+k2

Passo 2

Antes de cair nos cálculos, entenda a ideia: a cada passo a gente faz uma “predição” ( k1) e corrige com k2, dando um erro local de ordem O(h^3) e um erro global de ordem O(h^2). Como h=2, o erro global vai crescer como algo proporcional a h^2=4.

Passo 3

Agora vamos iterar de x=0 até x=16 em saltos de tamanho 2 (são 8 passos). A cada passo n temos xn=2n e yn estimado.
  1. n=0: x0=0,;y0=-1
    k1=2cdotl(-tfrac0-1r)=0,
    k2=2cdotl(-tfrac0+1-1+0r)=2,
    y1=-1+2=1.
  2. n=1: x1=2,;y1=1
    k1=2cdot(-2/1)=-4,
    k2=2cdotl(-tfrac2+11-2r)=6,
    y2=1+6=7.
  3. n=2: x2=4,;y2=7
    k1=2cdot(-4/7)approx-1,14286,
    k2=2cdotl(-tfrac4+17-0,57143r)approx-1,55556,
    y3approx7-1,55556=5,44444.
  4. n=3: x3=6,;y3approx5,44444
    k1approx2cdot(-6/5,44444)=-2,20588,
    k2approx2cdot(-tfrac6+15,44444-1,10294)=-3,22353,
    y4approx5,44444-3,22353=2,22091.
  5. n=4: x4=8,;y4approx2,22091
    k1approx2cdot(-8/2,22091)=-7,20588,
    k2approx2cdot(-tfrac8+12,22091-3,60294)=13,03030,
    y5approx2,22091+13,03030=15,25122.
  6. n=5: x5=10,;y5approx15,25122
    k1approx2cdot(-10/15,25122)=-1,31148,
    k2approx2cdot(-tfrac10+115,25122-0,65574)=-1,50731,
    y6approx15,25122-1,50731=13,74391.
  7. n=6: x6=12,;y6approx13,74391
    k1approx2cdot(-12/13,74391)=-1,74675,
    ,
    k2approx2cdot(-tfrac12+113,74391-0,87338)=-2,02083.
  8. n=7: y7approx13,74391-2,02083=11,72308
    x7=14,;y7approx11,72308,
    k1approx2cdot(-14/11,72308)=-2,38713,
    k2approx2cdot(-tfrac14+111,72308-1,19357)=-2,84933.
Logo, na última iteração chegamos em y8approx11,72308-2,84933=8,87375 com
x8=16

Passo 4

Para o erro: o Runge–Kutta de 2ª ordem tem erro global na solução que escala como O(h^2). Como h=2, o erro total fica na ordem de
h^2 ;=;4
Ou seja, esperávamos um desvio na casa de poucas unidades (da ordem de 4).

Resposta

Aproximamos
y(16)approx8,87,
com erro global da ordem de h^2=4.

Exercícios relacionados