Considere o P.V.I.
. Estime o valor de
com
e
, usando
o Método de Euler;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
o Método de Euler;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: queremos resolver a equação diferencial inicial
com a condição inicial
. Vamos usar o Método de Euler para estimar o valor de
com diferentes tamanhos de passo (
,
e
). Além disso, vamos avaliar o erro cometido em cada estimativa. Para isso, precisamos entender como o Método de Euler funciona e como aplicá-lo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, começamos com um ponto inicial e, usando a derivada, damos passos no eixo
para estimar os valores de
.
A fórmula básica do Método de Euler é:
onde:
-
é o valor atual de , -
é o tamanho do passo, -
é a derivada avaliada no ponto atual.
Passo 3
Vamos resolver para
.
Passo 3.1: Começamos em
com
.
Passo 3.2: Calculamos
usando
:
Passo 3.3: Agora,
. Como queremos
, precisamos de mais um passo.
Passo 3.4: Calculamos
:
Passo 4
Agora, para
.
Passo 4.1: Iniciamos novamente em
,
.
Passo 4.2: Primeiro passo:
Passo 4.3: Segundo passo:
Passo 4.4: Terceiro passo:
Passo 4.5: Quarto passo:
Passo 5
Agora, para
.
Vamos fazer isso passo a passo:
Passo 5.1: Início:
,
.
Passo 5.2: Primeiro passo:
Passo 5.3: Segundo passo:
Passo 5.4: Continuando assim até
, calculando cada
usando a fórmula de Euler. (Para brevidade, vou pular os cálculos intermediários, mas o processo é o mesmo:
)
Após 10 passos, obtemos uma estimativa de
.
Resposta
Portanto, estimando
usando o Método de Euler:
- Com
: - Com
: - Com
:
Comparando com a solução exata
, vemos que o erro diminui conforme reduzimos o tamanho do passo
.