Considere o P.V.I. ly^prime=cos x+1 y(0)=-1. Estime o valor de y(1) com h=0.5, h=0.25 e h=0.1, usando
o Método de Euler;
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: queremos resolver a equação diferencial inicial com a condição inicial . Vamos usar o Método de Euler para estimar o valor de com diferentes tamanhos de passo ( , e ). Além disso, vamos avaliar o erro cometido em cada estimativa. Para isso, precisamos entender como o Método de Euler funciona e como aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Método de Euler. É uma técnica numérica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. Basicamente, começamos com um ponto inicial e, usando a derivada, damos passos no eixo yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn) para estimar os valores de .
A fórmula básica do Método de Euler é:
onde:
  • é o valor atual de ,
  • é o tamanho do passo,
  • é a derivada avaliada no ponto atual.

Passo 3

Vamos resolver para y1 = y0 + h cdot (cos x0 + 1) = -1 + 0.5 cdot (cos 0 + 1) = -1 + 0.5 cdot (1 + 1) = -1 + 1 = 0 .
Passo 3.1: Começamos em y2 = y1 + h cdot (cos x1 + 1) = 0 + 0.5 cdot (cos 0.5 + 1) approx 0 + 0.5 cdot (0.8776 + 1) approx 0.9388 com .
Passo 3.2: Calculamos usando :
Passo 3.3: Agora, . Como queremos , precisamos de mais um passo.
Passo 3.4: Calculamos :

Passo 4

Agora, para y1 = -1 + 0.25 cdot (cos 0 + 1) = -1 + 0.25 cdot 2 = -1 + 0.5 = -0.5 .
Passo 4.1: Iniciamos novamente em y2 = -0.5 + 0.25 cdot (cos 0.25 + 1) approx -0.5 + 0.25 cdot (0.9689 + 1) approx -0.5 + 0.4922 = -0.0078 , y3 = -0.0078 + 0.25 cdot (cos 0.5 + 1) approx -0.0078 + 0.25 cdot (0.8776 + 1) approx -0.0078 + 0.4694 = 0.4616 .
Passo 4.2: Primeiro passo:
y4 = 0.4616 + 0.25 cdot (cos 0.75 + 1) approx 0.4616 + 0.25 cdot (0.7317 + 1) approx 0.4616 + 0.4329 = 0.8945
Passo 4.3: Segundo passo:
Passo 4.4: Terceiro passo:
Passo 4.5: Quarto passo:

Passo 5

Agora, para y1 = -1 + 0.1 cdot (cos 0 + 1) = -1 + 0.1 cdot 2 = -1 + 0.2 = -0.8 .
Vamos fazer isso passo a passo:
Passo 5.1: Início: y2 = -0.8 + 0.1 cdot (cos 0.1 + 1) approx -0.8 + 0.1 cdot (0.9950 + 1) approx -0.8 + 0.1995 = -0.6005 , .
Passo 5.2: Primeiro passo:
Passo 5.3: Segundo passo:
Passo 5.4: Continuando assim até , calculando cada usando a fórmula de Euler. (Para brevidade, vou pular os cálculos intermediários, mas o processo é o mesmo: )
Após 10 passos, obtemos uma estimativa de .

Resposta

Portanto, estimando usando o Método de Euler:
  • Com :
  • Com :
  • Com :
Comparando com a solução exata , vemos que o erro diminui conforme reduzimos o tamanho do passo .

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