O cálculo aproximado de raizp pode ser feito pela iteração dada pela equação abaixo.
xn+1=12(xn+pxn)
Use a iteração para calcular raiz2 e raiz3 com precisão de 10^-8 e aproximação inicial x0=1.5.

Passo 1

Beleza, vamos usar o método de Newton (ou de Newton–Raphson) pra aproximar raízes quadradas. A ideia é: se a gente quer √p, define a função
f(x) = x^2 - p
e itera
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - xn^2 - p2,xn = 12l(xn + pxnr)
Matéria: métodos numéricos / raízes de equações.
O que precisamos:
  • Uma aproximação inicial .
  • Critério de parada: .
  • Fazer isso duas vezes: p=2 e p=3.

Passo 2

Aplicando pra √2, com xn+1 = tfrac12l(xn + tfrac2xnr) :
Usamos
x1 = tfrac12l(1.5 + tfrac21.5r) = tfrac12(1.5 + 1.33333333) = 1.41666667
  1. n=0 →
x2 = tfrac12l(1.41666667 + tfrac21.41666667r) approx 1.41421569
Diferença x3 = tfrac12l(1.41421569 + tfrac21.41421569r) approx 1.41421356 , ainda grande.
  1. n=1 →
x4 = tfrac12l(1.41421356 + tfrac21.41421356r) approx 1.41421356
.
  1. n=2 →
.
  1. n=3 →
, paramos.

Passo 3

Agora pra √3, mesma jogada:
xn+1 = tfrac12l(xn + tfrac3xnr), x0=1.5
  1. n=0 →
x1 = tfrac12(1.5 + 2.0) = 1.75, |x1-x0|=0.25
  1. n=1 →
x2 = tfrac12l(1.75 + tfrac31.75r) = 1.73214286, |x2-x1|approx0.017857
  1. n=2 →
x3 = tfrac12l(1.73214286 + tfrac31.73214286r) approx 1.73205081, |x3-x2|approx9.21times10^-5
  1. n=3 →
x4 = tfrac12l(1.73205081 + tfrac31.73205081r) approx 1.73205081, |x4-x3|approx2.4times10^-9<10^-8
Pronto, atingimos a precisão.

Resposta

√2 ≈ 1.41421356
√3 ≈ 1.73205081

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