Qual o número necessário de iterações do método da bissecção para calcular a raiz de uma função no intervalo [1,6] com tolerância epsilon=10^-6 ?

Passo 1

Beleza, o exercício quer saber quantas iterações do método da bissecção precisamos para achar a raiz de uma função no intervalo com tolerância .
Conteúdo: Métodos Numéricos – Bissecção.
O que vai precisar: saber que a cada iteração a gente corta o intervalo ao meio e usar a fórmula do erro máximo do método da bissecção.

Passo 2

Na bissecção, depois de b - a2^n iterações o comprimento do intervalo onde a raiz está é
b - a2^n <= epsilon
Para garantir que o erro (metade desse comprimento) seja menor ou igual a , a condição prática é

Passo 3

Agora a gente resolve essa desigualdade para b - a2^n <= epsilon Longrightarrow 2^n >= b - aepsilon Longrightarrow n >= log2!gl(b - aepsilongr) .
n >= log2!l(5 times 10^6r)
Aqui e , então

Passo 4

Para calcular log2(5cdot10^6) = ln(5cdot10^6)ln 2 = ln 5 + ln(10^6)ln 2 = 1,6094 + 6 times 2,30260,6931 approx 1,6094 + 13,81560,6931 approx 15,42500,6931 approx 22,26 a gente usa mudança de base, por exemplo com log natural:
Como precisa ser inteiro e satisfazer , a gente arredonda para cima e obtém .

Resposta

Precisamos de 23 iterações.

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