Mostre que a função
, possui apenas uma raiz positiva.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra mostrar que a função
tem exatamente uma única solução (raiz) em
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Continuidade de funções e Teorema do Valor Intermediário (TVI).
- Derivada e monotonicidade (função crescente/decrescente).
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que existe pelo menos uma raiz.
- Domínio e continuidade:
está definida e é contínua para todo . - Comportamento nos extremos:
- Quando
, temos , então - Quando
, o termo domina e
- Quando
- Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que vai de
a obrigatoriamente cruza zero pelo menos uma vez. Logo, existe pelo menos uma raiz em .
Passo 3
Agora, vamos mostrar que não pode ter duas ou mais raízes:
- Calculamos a derivada:
- Para todo
, . Isso significa que sempre, ou seja, é estritamente crescente em . - Uma função contínua e estritamente crescente só pode cruzar o eixo
uma vez. Se tivesse duas raízes distintas , entre elas teria de descer para voltar a cruzar, mas isso contradiz o fato de .
Resposta
A função
tem exatamente uma única raiz positiva.