Mostre que a função f(x)=x+ln (x), x>0, possui apenas uma raiz positiva.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra mostrar que a função
f(x)=x+ln(x), x>0
tem exatamente uma única solução (raiz) em .
Conteúdo que vamos usar:
  • Continuidade de funções e Teorema do Valor Intermediário (TVI).
  • Derivada e monotonicidade (função crescente/decrescente).

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que existe pelo menos uma raiz.
  1. Domínio e continuidade: limxto0^+f(x)=limxto0^+l(x+ln(x)r)=-infty está definida e é contínua para todo limxto+inftyf(x)=+infty.
  2. Comportamento nos extremos:
    • Quando , temos , então
    • Quando , o termo domina e
  3. Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que vai de a obrigatoriamente cruza zero pelo menos uma vez. Logo, existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora, vamos mostrar que não pode ter duas ou mais raízes:
  1. Calculamos a derivada: f'(x)=ddxl(x+ln(x)r)=1+1x
  2. Para todo , . Isso significa que sempre, ou seja, é estritamente crescente em .
  3. Uma função contínua e estritamente crescente só pode cruzar o eixo uma vez. Se tivesse duas raízes distintas , entre elas teria de descer para voltar a cruzar, mas isso contradiz o fato de .

Resposta

A função tem exatamente uma única raiz positiva.

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