O cálculo aproximado de
pode ser feito pela iteração dada pela equação abaixo.
Mostre que esse é exatamente o Método de Newton. (Manipule a expressão dada pelo método, por exemplo para
, e mostre que são equivalentes.)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que a iteração
é a mesma coisa que aplicar o Método de Newton na função
Ou seja, a matéria aqui é “Método de Newton” (ou Método de Newton–Raphson) e o que vamos precisar é:
• Saber o que é o Método de Newton em geral;
• Calcular e
para
;
• Substituir na fórmula do Newton e mostrar que dá a expressão do enunciado.
• Saber o que é o Método de Newton em geral;
• Calcular
• Substituir na fórmula do Newton e mostrar que dá a expressão do enunciado.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos relembrar o Método de Newton. Se você tem uma função qualquer
e quer achar a raiz
tal que
, a iteração de Newton é
Aqui:
– é o nosso “palpite” atual;
– é o valor da função naquele palpite;
– é a derivada da função no mesmo ponto.
–
–
–
Passo 3
Agora, escolhemos a função
Essa função tem como raiz
(e também
, mas normalmente focamos na positiva).
Vamos calcular:
• ,
• , então
.
Vamos calcular:
•
•
Passo 4
Substituindo na fórmula de Newton, temos
Vamos simplificar esse quociente:
Logo
Passo 5
Mas
. Ou seja, chegamos exatamente na fórmula do enunciado:
Resposta
Pronto! A iteração dada é exatamente o Método de Newton aplicado a
.