O cálculo aproximado de raizp pode ser feito pela iteração dada pela equação abaixo.
xn+1=12(xn+pxn)
Mostre que esse é exatamente o Método de Newton. (Manipule a expressão dada pelo método, por exemplo para f(x)=x^2-p, e mostre que são equivalentes.)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que a iteração
xn+1=12l(xn+ pxnr)
é a mesma coisa que aplicar o Método de Newton na função
f(x)=x^2-p
Ou seja, a matéria aqui é “Método de Newton” (ou Método de Newton–Raphson) e o que vamos precisar é:
• Saber o que é o Método de Newton em geral;
• Calcular e para ;
• Substituir na fórmula do Newton e mostrar que dá a expressão do enunciado.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos relembrar o Método de Newton. Se você tem uma função qualquer xn+1=xn-f(xn)f'(xn) e quer achar a raiz tal que , a iteração de Newton é
Aqui:
é o nosso “palpite” atual;
é o valor da função naquele palpite;
é a derivada da função no mesmo ponto.

Passo 3

Agora, escolhemos a função
f(x)=x^2-p
Essa função tem como raiz (e também , mas normalmente focamos na positiva).
Vamos calcular:
,
, então .

Passo 4

Substituindo na fórmula de Newton, temos
xn+1 = xn ;-;f(xn)f'(xn) = xn ;-;xn^2-p2xn
Vamos simplificar esse quociente:
xn^2-p2xn = xn^22xn-p2xn = xn2-p2xn
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xn+1 = xn ;-;l(tfracxn2-tfracp2xnr) = xn - tfracxn2 + tfracp2xn = tfracxn2 + tfracp2xn

Passo 5

Mas xn+1=12l(xn+ pxnr) . Ou seja, chegamos exatamente na fórmula do enunciado:

Resposta

Pronto! A iteração dada é exatamente o Método de Newton aplicado a .

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