ache , determine onde é contínua e ache , e ache .

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
barF(t) = (2 + sin t),bari + (cos t),barj + t,bark, t0 = pi2,
e pede:
limtto t0barF(t),
– onde barF é contínua,
barF^prime(t0),
barF^primeprime(t0).
Vamos usar que limites, continuidade e derivadas de funções vetoriais se fazem componente a componente.

Passo 2

Como sin t, cos t e t são contínuas em todo R, vale
limtto t0barF(t) = barFl(t0r) = l(2 + sin(t0)r)bari + cos(t0),barj + t0,bark
Substituindo t0=pi2:
sinl(tfracpi2r)=1, cosl(tfracpi2r)=0, então
limtto t0barF(t) = (2+1),bari + 0,barj + tfracpi2,bark = 3,bari + tfracpi2,bark

Passo 3

Por serem soma e produto de funções contínuas, cada componente de barF(t) é contínua em R. Logo,
barF é contínua para todo tinR.

Passo 4

Derivamos componente a componente:
barF'(t) = l(cos tr),bari + l(-sin tr),barj + 1,bark
Em t0=pi2 temos cos(tfracpi2)=0, sin(tfracpi2)=1, então
barF'l(t0r) = 0,bari + (-1),barj + 1,bark = -,barj + bark

Passo 5

Derivando novamente:
barF''(t) = l(-sin tr),bari + l(-cos tr),barj + 0,bark
Em t0=pi2: -sin(tfracpi2)=-1 e -cos(tfracpi2)=0, logo
barF''l(t0r) = -1,bari + 0,barj + 0,bark = -,bari

Resposta

limtto t0barF(t) = 3,bari + tfracpi2,bark
barF é contínua em todo tinR.
barF'l(t0r) = -,barj + bark, barF''l(t0r) = -,bari

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