ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
11 4 x^{2}-9 y^{2}+9 z^{2}=36
11 4 x^{2}-9 y^{2}+9 z^{2}=36
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais pelos planos ,
e
;
(d) traços nos planos coordenados ,
e
;
(e) identificação da quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Usaremos interseção com eixos, simetria de funções pares, análise de cortes por planos e classificação de superfícies quádricas.
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais pelos planos
(d) traços nos planos coordenados
(e) identificação da quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Usaremos interseção com eixos, simetria de funções pares, análise de cortes por planos e classificação de superfícies quádricas.
Passo 2
Para as interseções com os eixos, anulamos duas coordenadas e resolvemos para a terceira.
Em e
obtemos
Em
logo
Em
e
a equação vira
não há solução real.
Em e
temos
Em
logo
Assim as interseções são
e
.
Passo 3
A só aparece
,
,
e nenhum termo misto ou de grau ímpar, logo a equação é par em cada variável. Isso implica simetria em relação aos planos coordenados
,
,
e simetria central na origem.
Passo 4
Seções meridionais (planos
,
,
):
Em :
Em
é hipérbole no plano
sempre que
.
Em :
Em
é elipse no plano
para todo
.
Em :
Em
é hipérbole no plano
sempre que
.
Passo 5
Traços (planos coordenados):
Plano (
):
Plano
– hipérbole.
Plano (
):
Plano
– elipse.
Plano (
):
Plano
– hipérbole.
Passo 6
Dividindo a equação por
, obtemos
Há exatamente um sinal negativo, portanto trata-se de um hiperboloide de uma folha com eixo principal paralelo ao eixo
.
Passo 7
Esboço do gráfico: as seções
são elipses centradas em
cujo tamanho cresce com
, e as seções
e
são hipérboles. O resultado é um hiperboloide de uma folha estendido ao longo do eixo
.
Resposta
(a) Interseções em
e
; não há interseção real com o eixo
.
(b) Simétrica em relação aos planos coordenados ,
,
e ao ponto
.
(c) Seções em : hipérboles; em
: elipses; em
: hipérboles.
(d) Traços: no plano hipérbole, em
elipse, em
hipérbole.
(e) Hiperboloide de uma folha com eixo paralelo a .
(f) Esboço: elipses para cortes const e hipérboles para cortes
const ou
const.
(b) Simétrica em relação aos planos coordenados
(c) Seções em
(d) Traços: no plano
(e) Hiperboloide de uma folha com eixo paralelo a
(f) Esboço: elipses para cortes