ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
11 4 x^{2}-9 y^{2}+9 z^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
4x^2 ;-; 9y^2 ;+; 9z^2 ;=; 36
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetria;
(c) seções meridionais pelos planos x=k, y=k e z=k;
(d) traços nos planos coordenados xy, xz e yz;
(e) identificação da quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Usaremos interseção com eixos, simetria de funções pares, análise de cortes por planos e classificação de superfícies quádricas.

Passo 2

Para as interseções com os eixos, anulamos duas coordenadas e resolvemos para a terceira.
Em y=0 e z=0 obtemos
4x^2 = 36
logo
x = pm 3
Em x=0 e z=0 a equação vira
-9y^2 = 36
não há solução real.
Em x=0 e y=0 temos
9z^2 = 36
logo
z = pm 2
Assim as interseções são (pm 3,0,0) e (0,0,pm 2).

Passo 3

A só aparece x^2, y^2, z^2 e nenhum termo misto ou de grau ímpar, logo a equação é par em cada variável. Isso implica simetria em relação aos planos coordenados xy, xz, yz e simetria central na origem.

Passo 4

Seções meridionais (planos x=k, y=k, z=k):
Em x=k:
-9y^2 + 9z^2 = 36 - 4k^2
é hipérbole no plano yz sempre que 36 - 4k^2 neq 0.
Em y=k:
4x^2 + 9z^2 = 36 + 9k^2
é elipse no plano xz para todo k.
Em z=k:
4x^2 - 9y^2 = 36 - 9k^2
é hipérbole no plano xy sempre que 36 - 9k^2 neq 0.

Passo 5

Traços (planos coordenados):
Plano xy ( z=0):
4x^2 - 9y^2 = 36
– hipérbole.
Plano xz ( y=0):
4x^2 + 9z^2 = 36
– elipse.
Plano yz ( x=0):
-9y^2 + 9z^2 = 36
– hipérbole.

Passo 6

Dividindo a equação por 36, obtemos
x^29 ;+; z^24 ;-; y^24 ;=; 1
Há exatamente um sinal negativo, portanto trata-se de um hiperboloide de uma folha com eixo principal paralelo ao eixo y.

Passo 7

Esboço do gráfico: as seções y=const são elipses centradas em (0,y,0) cujo tamanho cresce com lvert yrvert, e as seções x=const e z=const são hipérboles. O resultado é um hiperboloide de uma folha estendido ao longo do eixo y.

Resposta

(a) Interseções em (pm 3,0,0) e (0,0,pm 2); não há interseção real com o eixo y.
(b) Simétrica em relação aos planos coordenados xy, xz, yz e ao ponto (0,0,0).
(c) Seções em x=k: hipérboles; em y=k: elipses; em z=k: hipérboles.
(d) Traços: no plano xy hipérbole, em xz elipse, em yz hipérbole.
(e) Hiperboloide de uma folha com eixo paralelo a y.
(f) Esboço: elipses para cortes y= const e hipérboles para cortes x= const ou z= const.

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