(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
12 E. x^{2}+2 x y+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2+2xy+y^2=1
e pede:
(a) as interseções com os eixos coordenados;
(b) a simetria da curva;
(c) as seções meridiais perpendiculares aos eixos coordenados;
(d) os traços (interceptos);
(e) o tipo de quádrupla cônica;
(f) o esboço do gráfico.
O conteúdo envolve fatoração, classificação de cônicas pelo discriminante De<a=b^2-4ac e identificação de caso degenerado.

Passo 2

(a) Interseções com os eixos
– Com o eixo x: ponho y=0 em
x^2+2xcdot0+0^2=1implies x^2=1implies x=pm1,
logo pontos (1,0) e (-1,0).
– Com o eixo y: ponho x=0 em
0^2+2cdot0cdot y+y^2=1implies y^2=1implies y=pm1,
logo pontos (0,1) e (0,-1).

Passo 3

(b) Simetria da curva
A expressão x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 é invariante se trocarmos xrightarrow y (simetria na reta y=x) e se substituirmos (x,y)mapsto(-x,-y) (simetria no ponto origem). Não é invariante apenas sob reflexão isolada em torno do eixo x ou do eixo y.

Passo 4

(c) Seções meridiais perpendiculares aos eixos
– Para cada x fixo, a equação vira
(x+y)^2=1implies y=-xpm1
– Para cada y fixo, análogo:
(x+y)^2=1implies x=-ypm1

Passo 5

(d) Traços (interceptos)
São os mesmos pontos de (a):
x-traços em (1,0), (-1,0);
y-traços em (0,1), (0,-1).

Passo 6

(e) Tipo de quádrupla cônica
Coeficientes: a=1, b=2, c=1 dão o discriminante
De<a=b^2-4ac=2^2-4cdot1cdot1=0
Como a forma fatorou em
(x+y)^2=1,
tratase de caso degenerado: duas retas paralelas
x+y=1 e x+y=-1

Passo 7

(f) Esboço do gráfico
Duas retas paralelas com coeficiente angular -1 que cortam os eixos em pm1:
– reta x+y=1 passa por (1,0) e (0,1);
– reta x+y=-1 passa por (-1,0) e (0,-1).

Resposta

(a) Interseções em (1,0), (-1,0), (0,1) e (0,-1).
(b) Simétrica na reta y=x e no ponto origem.
(c) Para cada x: y=-xpm1; para cada y: x=-ypm1.
(d) Traços idem às interseções do item (a).
(e) Cônica degenerada: duas retas paralelas x+y=1 e x+y=-1.
(f) Gráfico: duas retas paralelas com inclinação -1 passando pelos pontos acima.

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