(a) ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
12 E. x^{2}+2 x y+y^{2}=1
12 E. x^{2}+2 x y+y^{2}=1
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede:
(a) as interseções com os eixos coordenados;
(b) a simetria da curva;
(c) as seções meridiais perpendiculares aos eixos coordenados;
(d) os traços (interceptos);
(e) o tipo de quádrupla cônica;
(f) o esboço do gráfico.
O conteúdo envolve fatoração, classificação de cônicas pelo discriminante e identificação de caso degenerado.
(a) as interseções com os eixos coordenados;
(b) a simetria da curva;
(c) as seções meridiais perpendiculares aos eixos coordenados;
(d) os traços (interceptos);
(e) o tipo de quádrupla cônica;
(f) o esboço do gráfico.
O conteúdo envolve fatoração, classificação de cônicas pelo discriminante
Passo 2
(a) Interseções com os eixos
– Com o eixo : ponho
em
– Com o eixo
logo pontos
e
.
– Com o eixo : ponho
em
– Com o eixo
logo pontos
e
.
Passo 3
(b) Simetria da curva
A expressão é invariante se trocarmos
(simetria na reta
) e se substituirmos
(simetria no ponto origem). Não é invariante apenas sob reflexão isolada em torno do eixo
ou do eixo
.
A expressão
Passo 4
(c) Seções meridiais perpendiculares aos eixos
– Para cada fixo, a equação vira
– Para cada
– Para cada
fixo, análogo:
Passo 5
(d) Traços (interceptos)
São os mesmos pontos de (a):
x-traços em ,
;
y-traços em ,
.
São os mesmos pontos de (a):
x-traços em
y-traços em
Passo 6
(e) Tipo de quádrupla cônica
Coeficientes: ,
,
dão o discriminante
Coeficientes:
Como a forma fatorou em
tratase de caso degenerado: duas retas paralelas
Passo 7
(f) Esboço do gráfico
Duas retas paralelas com coeficiente angular que cortam os eixos em
:
– reta passa por
e
;
– reta passa por
e
.
Duas retas paralelas com coeficiente angular
– reta
– reta
Resposta
(a) Interseções em
,
,
e
.
(b) Simétrica na reta e no ponto origem.
(c) Para cada :
; para cada
:
.
(d) Traços idem às interseções do item (a).
(e) Cônica degenerada: duas retas paralelas e
.
(f) Gráfico: duas retas paralelas com inclinação passando pelos pontos acima.
(b) Simétrica na reta
(c) Para cada
(d) Traços idem às interseções do item (a).
(e) Cônica degenerada: duas retas paralelas
(f) Gráfico: duas retas paralelas com inclinação