ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
13 x^{2}-4 y^{2}-4 z^{2}=4
13 x^{2}-4 y^{2}-4 z^{2}=4
Passo 1
O enunciado pede para estudar a superfície de equação
e encontrar: (a) as interseções com eixos, (b) suas simetrias, (c) as seções transversais feitas por planos perpendiculares aos eixos, (d) os traços nos planos coordenados, (e) que tipo de superfície quádricas é, e (f) um esboço do gráfico. Vamos usar álgebra elementar de superfícies de segundo grau e classificação por sinais dos coeficientes.
Passo 2
Para achar as interseções com os eixos, fazemos dois dos três valores iguais a zero:
— Eixo (
,
):
— Eixo
— Eixo
(
,
):
sem solução real.
— Eixo (
,
):
— Eixo
também sem solução real.
Passo 3
A equação só envolve quadrados de
,
e
, ou seja, é invariante sob trocas
Portanto a superfície é simétrica em relação a cada plano coordenado e em relação a cada eixo.
Passo 4
Seções por planos
,
e
:
— Plano
:
Para
(i.e.\
) obtém-se uma elipse
Para
não há seção real.
— Plano
:
sempre uma hipérbole.
— Plano
:
também sempre uma hipérbole.
Passo 5
Traços nos planos coordenados (
):
— Plano
:
nenhuma solução real.
— Plano
:
hipérbole no plano
.
— Plano
:
hipérbole no plano
.
Passo 6
Para classificar, olha-se o sinal dos coeficientes em
Há um termo positivo (
) e dois termos negativos (
) com lado direito positivo. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 7
Esboço do gráfico: são duas folhas desconectadas, simétricas em relação à origem, centradas ao longo do eixo
. O vértice de cada folha está em
com seção degenerada, e à medida que
cresce as seções elípticas aumentam de raio.
Resposta
a) Interseções com eixos:
na reta
; sem interseções reais nos eixos
e
.
b) Simetria par em ,
e
(invariante em todas as trocas de sinal).
c) Seções são elipses para
; seções
e
são sempre hipérboles.
d) Traços: em não há ponto real; em
e
são hipérboles.
e) É um hiperbolóide de duas folhas com eixo no .
f) Gráfico: duas folhas abertas ao longo do eixo , com vértices em
.
b) Simetria par em
c) Seções
d) Traços: em
e) É um hiperbolóide de duas folhas com eixo no
f) Gráfico: duas folhas abertas ao longo do eixo