ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
13 x^{2}-4 y^{2}-4 z^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para estudar a superfície de equação
13x^2 ;-;4y^2;-;4z^2=4
e encontrar: (a) as interseções com eixos, (b) suas simetrias, (c) as seções transversais feitas por planos perpendiculares aos eixos, (d) os traços nos planos coordenados, (e) que tipo de superfície quádricas é, e (f) um esboço do gráfico. Vamos usar álgebra elementar de superfícies de segundo grau e classificação por sinais dos coeficientes.

Passo 2

Para achar as interseções com os eixos, fazemos dois dos três valores iguais a zero:
— Eixo x ( y=0, z=0):
13x^2=4 Longrightarrow x=pm2raiz13
— Eixo y ( x=0, z=0):
-4y^2=4 Longrightarrow y^2=-1
sem solução real.
— Eixo z ( x=0, y=0):
-4z^2=4 Longrightarrow z^2=-1
também sem solução real.

Passo 3

A equação só envolve quadrados de x, y e z, ou seja, é invariante sob trocas
xmapsto -x, ymapsto -y, zmapsto -z
Portanto a superfície é simétrica em relação a cada plano coordenado e em relação a cada eixo.

Passo 4

Seções por planos x=k, y=k e z=k:
— Plano x=k:
13k^2-4y^2-4z^2=4 ;Long<=ftrightarrow; 4y^2+4z^2=13k^2-4
Para 13k^2>4 (i.e.\ lvert krvert>2/raiz13) obtém-se uma elipse
y^2tfrac13k^2-44 +z^2tfrac13k^2-44=1
Para lvert krvert<=2/raiz13 não há seção real.
— Plano y=k:
13x^2-4k^2-4z^2=4 ;Long<=ftrightarrow; 13x^2-4z^2=4+4k^2>0,
sempre uma hipérbole.
— Plano z=k:
13x^2-4y^2-4k^2=4 ;Long<=ftrightarrow; 13x^2-4y^2=4+4k^2>0,
também sempre uma hipérbole.

Passo 5

Traços nos planos coordenados ( k=0):
— Plano x=0:
-4y^2-4z^2=4
nenhuma solução real.
— Plano y=0:
13x^2-4z^2=4
hipérbole no plano xz.
— Plano z=0:
13x^2-4y^2=4
hipérbole no plano xy.

Passo 6

Para classificar, olha-se o sinal dos coeficientes em
13x^2-4y^2-4z^2=4
Há um termo positivo ( x^2) e dois termos negativos ( -y^2,-z^2) com lado direito positivo. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo x.

Passo 7

Esboço do gráfico: são duas folhas desconectadas, simétricas em relação à origem, centradas ao longo do eixo x. O vértice de cada folha está em x=pm2/raiz13 com seção degenerada, e à medida que lvert xrvert cresce as seções elípticas aumentam de raio.

Resposta

a) Interseções com eixos:
x=pm2raiz13 na reta y=z=0; sem interseções reais nos eixos y e z.
b) Simetria par em x, y e z (invariante em todas as trocas de sinal).
c) Seções x=k são elipses para lvert krvert>2/raiz13; seções y=k e z=k são sempre hipérboles.
d) Traços: em x=0 não há ponto real; em y=0 e z=0 são hipérboles.
e) É um hiperbolóide de duas folhas com eixo no x.
f) Gráfico: duas folhas abertas ao longo do eixo x, com vértices em x=pm2/raiz13.

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