ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
14 z^{2}=1-2 y+y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida por
14,z^2 = 1 - 2y + y^2
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) discussão de simetria;
(c) seções meridionais em planos perpendiculares aos eixos;
(d) traços na interseção com os planos coordenados;
(e) identificação do tipo de superfície quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Para resolver usaremos manipulação algébrica e interpretação geométrica de quádricas.

Passo 2

Interseções com os eixos:
– Eixo x: impõe y=0 e z=0. Então 14cdot0^2=1-0+0implies0=1, não há solução.
– Eixo y: impõe x=0 e z=0. Então
1 - 2y + y^2 = 0 ;Longrightarrow; (y-1)^2=0 ;Longrightarrow; y=1
Logo a interseção é o ponto (0,1,0).
– Eixo z: impõe x=0 e y=0. Então
14,z^2=1 ;Longrightarrow; z=pm1raiz14
Logo há os pontos l(0,0,1/raiz14r) e l(0,0,-1/raiz14r).

Passo 3

Simetria da superfície:
  • A variável x não aparece na equação, logo a superfície é invariante por translações paralelas ao eixo x (simetria cilíndrica ao longo de x).
  • A relação em y e z fica (y-1)^2=14,z^2, que é simétrica por zmapsto -z (reflexão na reta z=0).
  • Não há simetria em ymapsto 2 - y, pois o termo linear em y desloca o vértice para y=1.

Passo 4

Seções meridionais (planos perpendiculares aos eixos):
  1. Plano x=0 (plano yz): 14,z^2 = (y-1)^2 ;Longrightarrow; (y-1 - raiz14,z),(y-1 + raiz14,z)=0, ou seja, duas retas no plano yz: y-1 = pm raiz14,z
  2. Plano y=0 (plano xz): 14,z^2 = 1 ;Longrightarrow; z = pm 1raiz14, duas retas paralelas ao eixo x.
  3. Plano z=0 (plano xy): (y-1)^2=0 ;Longrightarrow; y=1, reta paralela ao eixo x.

Passo 5

Traços (interseções com os planos coordenados):
  • Traço em xy ( z=0): reta y=1.
  • Traço em xz ( y=0): retas z=pm 1/raiz14.
  • Traço em yz ( x=0): retas y-1 = pmraiz14,z.

Passo 6

Identificação da quádricas:
A fatoração
(y-1)^2 - 14,z^2 = (y-1-raiz14,z),(y-1+raiz14,z) =0
mostra que a superfície é a união de dois planos
boxedy - 1 = raiz14,z e boxedy - 1 = -raiz14,z,
ambos paralelos ao eixo x. Trata-se, portanto, de uma quádricas degenerada (duas planos).

Passo 7

Esboço do gráfico:
Imagine no espaço (x,y,z) duas planas inclinadas no plano yz, que se cruzam ao longo da reta
(x,,y=1,,z=0)mid xinR e se estendem indefinidamente no sentido de x.

Resposta

(a) Não há interseção com o eixo x. A interseção com o eixo y é (0,1,0) e com o eixo z são l(0,0,pm1/raiz14r).
(b) A superfície é invariante por translação ao longo de x e simétrica por zmapsto -z.
(c) Seções meridionais:
– em x=0: retas y-1=pmraiz14,z;
– em y=0: retas z=pm1/raiz14;
– em z=0: reta y=1.
(d) Traços nos planos coordenados iguais às seções do item (c).
(e) A quádricas é degenerada, formada por dois planos paralelos ao eixo x:
;y-1=pmraiz14,z
(f) Gráfico: dois planos inclinados no plano yz, cruzando-se na reta y=1,;z=0 e estendendo-se paralelamente a x.

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