ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
14 z^{2}=1-2 y+y^{2}
14 z^{2}=1-2 y+y^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida por
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) discussão de simetria;
(c) seções meridionais em planos perpendiculares aos eixos;
(d) traços na interseção com os planos coordenados;
(e) identificação do tipo de superfície quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Para resolver usaremos manipulação algébrica e interpretação geométrica de quádricas.
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) discussão de simetria;
(c) seções meridionais em planos perpendiculares aos eixos;
(d) traços na interseção com os planos coordenados;
(e) identificação do tipo de superfície quádricas;
(f) esboço do gráfico.
Para resolver usaremos manipulação algébrica e interpretação geométrica de quádricas.
Passo 2
Interseções com os eixos:
– Eixo : impõe
e
. Então
, não há solução.
– Eixo : impõe
e
. Então
– Eixo
– Eixo
Logo a interseção é o ponto
.
– Eixo : impõe
e
. Então
– Eixo
Logo há os pontos
e
.
Passo 3
Simetria da superfície:
- A variável
não aparece na equação, logo a superfície é invariante por translações paralelas ao eixo (simetria cilíndrica ao longo de ). - A relação em
e fica , que é simétrica por (reflexão na reta ). - Não há simetria em
, pois o termo linear em desloca o vértice para .
Passo 4
Seções meridionais (planos perpendiculares aos eixos):
- Plano
(plano ): ou seja, duas retas no plano : - Plano
(plano ): duas retas paralelas ao eixo . - Plano
(plano ): reta paralela ao eixo .
Passo 5
Traços (interseções com os planos coordenados):
- Traço em
( ): reta . - Traço em
( ): retas . - Traço em
( ): retas .
Passo 6
Identificação da quádricas:
A fatoração
A fatoração
mostra que a superfície é a união de dois planos
ambos paralelos ao eixo
. Trata-se, portanto, de uma quádricas degenerada (duas planos).
Passo 7
Esboço do gráfico:
Imagine no espaço duas planas inclinadas no plano
, que se cruzam ao longo da reta
e se estendem indefinidamente no sentido de
.
Imagine no espaço
Resposta
(a) Não há interseção com o eixo
. A interseção com o eixo
é
e com o eixo
são
.
(b) A superfície é invariante por translação ao longo de e simétrica por
.
(c) Seções meridionais:
– em : retas
;
– em : retas
;
– em : reta
.
(d) Traços nos planos coordenados iguais às seções do item (c).
(e) A quádricas é degenerada, formada por dois planos paralelos ao eixo :
(f) Gráfico: dois planos inclinados no plano , cruzando-se na reta
e estendendo-se paralelamente a
.
(b) A superfície é invariante por translação ao longo de
(c) Seções meridionais:
– em
– em
– em
(d) Traços nos planos coordenados iguais às seções do item (c).
(e) A quádricas é degenerada, formada por dois planos paralelos ao eixo
(f) Gráfico: dois planos inclinados no plano