ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
17 x^{2}+5 y^{2}-8 z^{2}=0
17 x^{2}+5 y^{2}-8 z^{2}=0
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetrias;
(c) seções meridionais nos planos perpendicular a e a
(isto é, em
e
);
(d) traços nos planos coordenados ,
e
;
(e) classificação da superfície;
(f) esboço do gráfico 3D.
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetrias;
(c) seções meridionais nos planos perpendicular a
(d) traços nos planos coordenados
(e) classificação da superfície;
(f) esboço do gráfico 3D.
Passo 2
(a)–Interseção com o eixo
: impõe
e
, ficando
, logo
. Analogamente para os eixos
e
. Portanto, todas as interseções coincidem no ponto
Passo 3
(b)–Como só aparecem termos quadráticos em
,
e
, todos de grau par, a superfície é simétrica em relação aos planos coordenados
,
e
, e também tem simetria central na origem.
Passo 4
(c)–Seções meridionais pelos planos que contêm o eixo
:
Em , a equação vira
Em
isto é
duas retas no plano
.
Em , a equação vira
Em
isto é
duas retas no plano
.
Passo 5
(d)–Traços nos planos coordenados:
Em :
Em
só admite
e
, ponto isolado.
Em e
obtêm-se exatamente as mesmas retas já listadas no passo anterior.
Em
Passo 6
(e)–A forma quadrática tem sinais
,
e
e é homogênea igual a zero, caracterizando um cone duplo elíptico (vértice na origem, eixo ao longo de
).
Passo 7
(f)–O gráfico é um cone duplo elíptico: duas nappes unidas na origem, abertas simetricamente para
e
, com geratrizes alinhadas segundo
Resposta
(a) Apenas o ponto
.
(b) Simetria nos planos ,
,
e simetria central na origem.
(c) Em :
; em
:
.
(d) Traço em : somente
; em
e
: as retas de (c).
(e) Cone duplo elíptico central.
(f) Duas nappes cônicas simétricas em torno da origem, abertas ao longo do eixo .
(b) Simetria nos planos
(c) Em
(d) Traço em
(e) Cone duplo elíptico central.
(f) Duas nappes cônicas simétricas em torno da origem, abertas ao longo do eixo