ache as interseções, (b) discuta a simetria, (c) ache as seções mersais perpendiculares aos eixos coordenados, (d) ache os traços, (e) identifique 4. merticie quádrica e (f) desenhe o gráfico.
17 x^{2}+5 y^{2}-8 z^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície
17x^2 + 5y^2 - 8z^2 = 0
e pede:
(a) interseções com os eixos coordenados;
(b) simetrias;
(c) seções meridionais nos planos perpendicular a x e a y (isto é, em x=0 e y=0);
(d) traços nos planos coordenados x=0, y=0 e z=0;
(e) classificação da superfície;
(f) esboço do gráfico 3D.

Passo 2

(a)–Interseção com o eixo x: impõe y=0 e z=0, ficando 17x^2=0, logo x=0. Analogamente para os eixos y e z. Portanto, todas as interseções coincidem no ponto
(0,0,0)

Passo 3

(b)–Como só aparecem termos quadráticos em x, y e z, todos de grau par, a superfície é simétrica em relação aos planos coordenados xy, xz e yz, e também tem simetria central na origem.

Passo 4

(c)–Seções meridionais pelos planos que contêm o eixo z:
Em x=0, a equação vira
5y^2 - 8z^2 = 0
isto é
y = pm raiztfrac85;z,
duas retas no plano yz.
Em y=0, a equação vira
17x^2 - 8z^2 = 0
isto é
x = pm raiztfrac817;z,
duas retas no plano xz.

Passo 5

(d)–Traços nos planos coordenados:
Em z=0:
17x^2 + 5y^2 = 0
só admite x=0 e y=0, ponto isolado.
Em x=0 e y=0 obtêm-se exatamente as mesmas retas já listadas no passo anterior.

Passo 6

(e)–A forma quadrática tem sinais +, + e - e é homogênea igual a zero, caracterizando um cone duplo elíptico (vértice na origem, eixo ao longo de z).

Passo 7

(f)–O gráfico é um cone duplo elíptico: duas nappes unidas na origem, abertas simetricamente para z>0 e z<0, com geratrizes alinhadas segundo
y = pm raiztfrac85;z e x = pm raiztfrac817;z

Resposta

(a) Apenas o ponto (0,0,0).
(b) Simetria nos planos xy, xz, yz e simetria central na origem.
(c) Em x=0: y=pmraiztfrac85,z; em y=0: x=pmraiztfrac817,z.
(d) Traço em z=0: somente (0,0); em x=0 e y=0: as retas de (c).
(e) Cone duplo elíptico central.
(f) Duas nappes cônicas simétricas em torno da origem, abertas ao longo do eixo z.

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