Ache o momento de inércia (I_{x}) e o momento de inércia (I_{u}) em relação aos eixos (x) e (y), respectivamente, de uma lâmina homogênea de massa total 1 grama, ocupando cada regiāo ®. Suponha que todas as distâncias são medidas em centímetros.
R : a região limitada por (y=x^{3} / 4) e (y=|x|).

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia Ix (em relação ao eixo x) e Iy (em relação ao eixo y) de uma lâmina homogênea de massa total 1,g que ocupa a região R limitada pelas curvas
y = x^34 e y = |x|
Para isso vamos usar as definições
Ix = integral duplaR y^2,rho,dA, Iy = integral duplaR x^2,rho,dA,
once rho é a densidade superficial (massa/área), e determinar rho a partir da massa total e da área de R.

Passo 2

Primeiro vamos descrever R e calcular sua área. As curvas se interceptam em x=0 e em x=2 (pois para x>=0 a equação tfracx^34=x x=0 ou x=2, e para x<0 não há outro ponto de interseção). Logo
R = l(x,y)mid 0<= x<= 2,;tfracx^34<= y<= xr
A área de R é
Area(R) =integral0^2l(x - tfracx^34r),dx =l[tfracx^22-tfracx^416r]0^2 =2 -1 =1
Como a massa total é 1,g, a densidade superficial é
rho = massaárea = 11 = 1 rm g/cm^2 á

Passo 3

Agora calculamos
Ix =integral duplaRy^2,rho,dA =integral0^2integraly=tfracx^34^y=xy^2,dy,dx =integral0^2l[tfracy^33r]y=tfracx^34^y=xdx =integral0^2l(x^33-(x^3/4)^33r)dx
Isso dá
Ix =13integral0^2x^3,dx -13cdot 4^3integral0^2x^9,dx =13cdot 4 -1192cdot 2^1010 =43-512960 =20-815 =1215 =45

Passo 4

Em seguida
Iy =integral duplaRx^2,rho,dA =integral0^2integraltfracx^34^xx^2,dy,dx =integral0^2x^2l(x-tfracx^34r)dx =integral0^2l(x^3-tfracx^54r)dx
Calculando,
Iy =integral0^2x^3,dx -14integral0^2x^5,dx =4 -14cdot2^66 =4-6424 =4-83 =43

Resposta

Ix = tfrac45 gcdot cm^2, Iy = tfrac43 gcdot cm^2

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