Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido limitado acima pelo plano (z+y=2), abaixo pelo plano (z=0), e lateralmente pelo cilindro circular reto (x{2}+y{2}=4).
O sólido limitado acima pelo plano (z+y=2), abaixo pelo plano (z=0), e lateralmente pelo cilindro circular reto (x{2}+y{2}=4).
Passo 1
O enunciado nos dá um sólido limitado pelas superfícies: superior
, inferior
e lateral
. Vamos usar integração dupla para calcular o volume, projetando o sólido no plano
e integrando a altura entre os planos.
Passo 2
Em cada ponto
do domínio, a altura do sólido é
O domínio de projeção é
com a condição
equivalendo a
. Como no disco
isso já vale em todo
, usamos o disco inteiro.
Passo 3
O volume é
Para facilitar, separamos em
Passo 4
O primeiro termo é
vezes a área de
:
Passo 5
O segundo termo é
que vale zero por simetria em torno do eixo
: cada ponto com ordenada
tem contraponto com ordenada
, cancelando a integral.
Passo 6
Somando os resultados: