Use integração dupla para calcular o volume de cada sólido.
O sólido limitado acima pelo plano (z+y=2), abaixo pelo plano (z=0), e lateralmente pelo cilindro circular reto (x{2}+y{2}=4).

Passo 1

O enunciado nos dá um sólido limitado pelas superfícies: superior ,z = 2 - y, inferior ,z = 0 e lateral ,x^2 + y^2 = 4. Vamos usar integração dupla para calcular o volume, projetando o sólido no plano xy e integrando a altura entre os planos.

Passo 2

Em cada ponto (x,y) do domínio, a altura do sólido é
h(x,y) = zsup - zinf = (2 - y) - 0 = 2 - y
O domínio de projeção é
D = (x,y)mid x^2 + y^2 <= 4,
com a condição h(x,y)>=0 equivalendo a y<=2. Como no disco -2<= y<=2 isso já vale em todo D, usamos o disco inteiro.

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD (2 - y),dA
Para facilitar, separamos em
V = integral duplaD 2,dA ;-;integral duplaD y,dA

Passo 4

O primeiro termo é 2 vezes a área de D:
integral duplaD 2,dA = 2cdot área(D) = 2cdot (4pi) = 8pi á

Passo 5

O segundo termo é
integral duplaD y,dA,
que vale zero por simetria em torno do eixo x: cada ponto com ordenada y tem contraponto com ordenada -y, cancelando a integral.

Passo 6

Somando os resultados:
V = 8pi - 0 = 8pi

Resposta

V = 8pi

Exercícios de Livros Relacionados