Use o teorema de Pappus para achar o volume do sólido gerado pela rotação da regiāo limitada pelas curvas dadas ao redor do eixo indicado.
2 x+y=2, x=0, e y=0 sobre o eixo (y).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região plana limitada por
2x + y = 2, x = 0, y = 0
O método indicado é o Teorema de Pappus, que diz que
V = A times (distância percorrida pelo centróide), âó
onde A é a área da região e a distância percorrida é 2pi vezes a abscissa do centróide.

Passo 2

Descrevemos a região: é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) (obtido de 2x+0=2) e (0,2) (obtido de 2cdot0+y=2). A área desse triângulo é
A = basetimesa<ura2 = 1 times 22 = 1

Passo 3

O centróide (bar x,bar y) de um triângulo de vértices (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) tem
bar x = x1 + x2 + x33
Aqui (x1,x2,x3)=(0,1,0), então
bar x = 0 + 1 + 03 = 13

Passo 4

Ao girar em torno do eixo y, o centróide percorre uma circunferência de raio bar x, isto é, comprimento
2pi bar x = 2pi cdot tfrac13 = tfrac2pi3
Pelo Teorema de Pappus,
V = A times 2pi bar x = 1 times tfrac2pi3 = tfrac2pi3

Resposta

boxed2pi3

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