28.3 Um balanço de massa para um composto químico em um reator de mistura pode ser escrito como
onde
é o volume
,
é a concentração
,
é a taxa de alimentação (
),
é a vazão (
) e
é uma taxa de reação de segunda ordem
. Se
, resolva a EDO até que a concentração atinja um nível estável. Use o método do ponto médio (
) e faça o gráfico de seus resultados.
Questão desafio: se ignorarmos o fato de que as concentrações devem ser positivas, encontre um intervalo de condições iniciais tal que você obteria uma trajetória muito diferente da que foi obtida
. Relacione seus resultados com as soluções estacionárias.
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO autonôma
com
,
,
e
. O objetivo é integrar essa EDO desde
até que
atinja um valor estacionário, usando o método do ponto médio com passo
, e depois discutir como trajetórias muito diferentes surgem para certas condições iniciais (ignorando a restrição
).
Passo 2
Normalizando por
, escrevemos
Passo 3
As soluções estacionárias vêm de
, isto é
Resolvendo a equação quadrática,
Passo 4
Para verificar estabilidade, computamos
Em
,
(fixo estável). Em
,
(fixo instável).
Passo 5
O método do ponto médio (Runge–Kutta de ordem 2) é:
Passo 6
Aplicando com
e
, obtemos (aprox.):
Depois de alguns passos,
se aproxima de
.
Passo 7
O gráfico de
versus
é uma curva que sobe rapidamente de
e se nivela em torno de
.
Passo 8
Questão desafio: se permitirmos
, a dinâmica muda qualitativamente segundo a posição em relação ao ponto instável
.
- Para qualquer
, a solução cresce (seja negativo ou positivo) e tende a . - Para
, temos e decresce sem limite, seguindo uma trajetória muito diferente.
Isso mostra que o ponto
atua como separatriz: acima dele todas as soluções vão para o fixo estável
; abaixo dele divergem para
.
Resposta
Concentração estacionária estável: aproximadamente
.
Intervalo de condições iniciais que gera trajetória diferente (divergente negativa):
Intervalo de condições iniciais que gera trajetória diferente (divergente negativa):