28.3 Um balanço de massa para um composto químico em um reator de mistura pode ser escrito como
V d cd t=F-Q c-k V c^2
onde V é o volume (12 m^3), c é a concentração (g / m^3), F é a taxa de alimentação ( 175 g / min ), Q é a vazão ( 1 m^3 / min ) e k é uma taxa de reação de segunda ordem (0,15 m^3 / g / min). Se c(0)=0, resolva a EDO até que a concentração atinja um nível estável. Use o método do ponto médio ( h=0,5 ) e faça o gráfico de seus resultados.
Questão desafio: se ignorarmos o fato de que as concentrações devem ser positivas, encontre um intervalo de condições iniciais tal que você obteria uma trajetória muito diferente da que foi obtida com c(0)=0. Relacione seus resultados com as soluções estacionárias.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO autonôma
Vdcdt=F - Q,c - k,V,c^2,
com V=12, F=175, Q=1 e k=0.15. O objetivo é integrar essa EDO desde c(0)=0 até que c(t) atinja um valor estacionário, usando o método do ponto médio com passo h=0,5, e depois discutir como trajetórias muito diferentes surgem para certas condições iniciais (ignorando a restrição c>=0).

Passo 2

Normalizando por V, escrevemos
dcdt=f(c), f(c)=F - Q,c - k,V,c^2V =175 - c -1,8,c^212

Passo 3

As soluções estacionárias vêm de f(c)=0, isto é
1,8,c^2+c-175=0
Resolvendo a equação quadrática,
c = -1 pm raiz1 + 4cdot1,8cdot1752cdot1,8 = -1 pm raiz12613,6 approx 9,587e -10,142

Passo 4

Para verificar estabilidade, computamos
f'(c)=ddcl(175 - c -1,8c^212r) =-1 -3,6,c12
Em capprox9,587, f'<0 (fixo estável). Em capprox-10,142, f'>0 (fixo instável).

Passo 5

O método do ponto médio (Runge–Kutta de ordem 2) é:
k1=f(cn), yrm mid=cn+h2,k1, k2=f(yrm mid), cn+1=cn+h,k2

Passo 6

Aplicando com e , obtemos (aprox.):
Depois de alguns passos, se aproxima de .

Passo 7

O gráfico de c(t) versus t é uma curva que sobe rapidamente de 0 e se nivela em torno de 9,587.

Passo 8

Questão desafio: se permitirmos c(0)<0, a dinâmica muda qualitativamente segundo a posição em relação ao ponto instável capprox-10,142.
  • Para qualquer c(0)>-10,142, a solução cresce (seja c(0) negativo ou positivo) e tende a 9,587.
  • Para c(0)<-10,142, temos f(c)<0 e c(t) decresce sem limite, seguindo uma trajetória muito diferente.
Isso mostra que o ponto -10,142 atua como separatriz: acima dele todas as soluções vão para o fixo estável 9,587; abaixo dele divergem para -infty.

Resposta

Concentração estacionária estável: aproximadamente 9,587 g/m^3.
Intervalo de condições iniciais que gera trajetória diferente (divergente negativa):
c(0)<-10,142

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