28.4 Se c in =cb(1-e^-0,12 t), calcule a concentração no escoamento de saída de uma substância conservativa (sem reações) para um único reator de mistura como uma função do tempo. Use o método de Heun (sem iteração) para fazer os cálculos. Use valores de cb=40 mg / m^3, Q=6 m^3 / min, V=100 m^3 e c0=20 mg / m^3. Faça os cálculos de t=0 a 100 min usando h=2. Trace seus resultados com a concentração no escoamento de entrada em função do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve um reator perfeitamente misturado com escoamento de entrada cin(t)=cbl(1-e^-0,12,tr) e sem reações químicas. A concentração de saída c(t) satisfaz a equação diferencial
c'(t)=QVl(cin(t)-c(t)r), c(0)=c0
Dados: ;cb=40,mg/ m^3, Q=6, m^3/min, V=100, m^3, c0=20,mg/ m^3, passo h=2,min, tin[0,100]. Vamos usar o método de Heun (previsão-correção sem iteração) para obter c(t) e depois traçar c(t) e cin(t) vs.\ t.

Passo 2

Escrevemos a ODE no formato
c'(t)=fl(t,c(t)r),
com
f(t,c)=al(cin(t)-cr), a=QV=0,06 min^-1, cin(t)=40l(1-e^-0,12,tr)

Passo 3

O método de Heun (sem iteração) em cada passo n é:
1. Previsor (Euler explícito)
tilde cn+1=cn+h,fl(tn,cnr)
2. Corretor
cn+1=cn+h2l[fl(tn,cnr)+fl(tn+1,tilde cn+1r)r]

Passo 4

Substituindo f:
fl(tn,cnr)=0,06l(40l(1-e^-0,12,tnr)-cnr)
Logo, a regra de atualização é
tilde cn+1=cn+2cdot0,06l(40(1-e^-0,12,tn)-cnr),[6pt] cn+1=cn+1l0,06l[40(1-e^-0,12,tn)-cnr]+0,06l[40(1-e^-0,12,tn+1)-tilde cn+1r]r ]

Passo 5

Aplicando de t0=0 até t50=100 com h=2:
  • Em n=0: t0=0,;c0=20,;cin(0)=0,;f0=0,06(0-20)=-1,2.
    tilde c1=20-2,4=17,6.
    Em t1=2: cin(2)=40(1-e^-0,24)approx8,536,;f1p=0,06(8,536-17,6)approx-0,5438.
    c1=20+(-1,2-0,5438)=18,2562.
  • Repetimos esse ciclo até t=100.
    Os valores numéricos de cn e cin(tn) permitem traçar o gráfico de ambas as concentrações em função do tempo.

Resposta

O gráfico resultante mostra:
  • cin(t)=40l(1-e^-0,12,tr) cresce exponencialmente de 0 em t=0 até 40 mg/ m^3.
  • c(t) inicia em 20 mg/ m^3 e acompanha cin(t) com defasagem, aproximando-se de 40 mg/ m^3 à medida que tto100.

Exercícios de Livros Relacionados