28.15 A seguinte equação pode ser usada para modelar a deflexão do mastro da vela de um barco sujeita à força do vento:
d^2 yd z^2=f2 E I(L-z)^2
onde f é a força do vento, E é o módulo de elasticidade, L é o comprimento do mastro e I é o momento de inércia. Calcule a deflexão se y=0 e d y / d z=0 em z=0. Use valores de parâmetros de f=60, L=30, E=1,25 times 10^8, e I=0,05 para seus cálculos.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial que modela a deflexão y(z) de um mastro submetido à força do vento:
d^2ydz^2 = f2EI(L - z)^2,
com as condições de contorno em z=0:
y(0)=0, dydz|z=0=0
Precisamos integrar essa equação duas vezes, aplicar as condições de contorno e depois usar f=60, L=30, E=1,25times10^8, I=0,05 para encontrar a deflexão no extremo livre z=L.

Passo 2

Integramos a equação uma vez para obter a inclinação dydz.
dydz = integral f2EI(L-z)^2,dz = f2EI,l[-(L-z)^33r] + C1 = -f6EI(L-z)^3 + C1
Aplicando dydz|z=0=0, obtemos
0 = -f6EIL^3 + C1 Longrightarrow C1 = f,L^36EI
Logo,
dydz = f6EIl(L^3 - (L-z)^3r)

Passo 3

Integramos novamente para achar y(z):
y(z) = integral dydz,dz = f6EIintegral l(L^3 - (L-z)^3r),dz + C2
Calculando a integral,
integral (L^3 - (L-z)^3),dz = L^3z - l[-(L-z)^44r] = L^3z + (L-z)^44
Portanto,
y(z) = f6EIl(L^3z + (L-z)^44r) + C2
Usando y(0)=0,
0 = f6EIl(0 + L^44r) + C2 Longrightarrow C2 = -f,L^424EI
Assim,
y(z) = f6EIl(L^3z + (L-z)^44r) -f,L^424EI

Passo 4

Para simplificar, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
y(z) = f24EIl(4L^3z + (L-z)^4 - L^4r)
Em particular, a deflexão no extremo livre z=L é
y(L) = f24EIl(4L^4 + 0 - L^4r) = f,L^48EI

Passo 5

Substituindo f=60, L=30, E=1,25times10^8, I=0,05:
y(L) = 60cdot 30^48cdot (1,25times10^8)cdot 0,05 = 60cdot 8100008cdot 1,25times10^8cdot 0,05 = 48,600,0005times10^7 approx 0,972 m

Resposta

A deflexão no topo do mastro é aproximadamente 0,972 metros.

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