28.5 A água do mar com uma concentração de 8000 g / m^3 é bombeada para um tanque bem misturado a uma vazão de 0,6 m^3 / hr. Por causa de um defeito no trabalho do projeto, a água está evaporando do tanque a uma vazão de 0,025 m^3 / hr. A solução salina deixa o tanque a uma vazão de 0,6 m^3 / hr.
(a) Se o tanque continha originalmente 1 m^3 da solução de entrada, quanto tempo depois de ligar a bomba de saída o tanque secará?
(b) Use métodos numéricos para determinar a concentração de sal no tanque como uma função do tempo.

Passo 1

O enunciado trata de um tanque bem misturado que recebe água do mar com concentração de 8000\ g/m^3 à vazão de 0,6\ m^3/h, perde água por evaporação à vazão de 0,025\ m^3/h (sem levar sal) e deixa sair solução à vazão de 0,6\ m^3/h. Inicialmente o volume é 1\ m^3 com a mesma concentração inicial de 8000\ g/m^3.
(a) Pedem o tempo até o tanque secar (isto é, até o volume ir a zero).
(b) Pedem a concentração de sal no tanque como função do tempo, solucionando numericamente o balanço de massa do sal.

Passo 2

Calculemos primeiro o tempo de secagem. Seja V(t) o volume no tanque em m^3. Temos
dVdt = vazão in - vazão evaporação - vazão out = 0,6 - 0,025 - 0,6 = -0,025 ããçãã

Passo 3

Como V(0)=1, integraremos dVdt=-0,025:
V(t)=1 - 0,025,t
O tanque seca quando V(t)=0, logo
1 - 0,025,t = 0 Longrightarrow t = 10,025 = 40 h

Passo 4

Agora modelamos a massa de sal M(t) em gramas. A entrada de sal é
rrm in = 8000 gm^3times 0,6 m^3h = 4800 gh
A saída de solução remove sal à concentração MV e vazão 0,6, então a perda de sal é
rrm out = 0,6,M(t)V(t)
Assim o balanço é
dMdt = 4800 - 0,6,MV(t), V(t)=1-0,025t, M(0)=8000

Passo 5

Esse ODE é linear em M. Reescrevendo,
dMdt + 0,61-0,025t,M = 4800
A fator integrante é
mu(t) =exp!l(!integral 0,61-0,025t,dtr) =(1-0,025t)^-24
Multiplicando e integrando, obtemos após cálculo
M(t) =19200023,(1-0,025t) +l(8000-19200023r),(1-0,025t)^24

Passo 6

A concentração no tanque é
c(t)=M(t)V(t) =M(t)1-0,025t =19200023 +l(8000-19200023r)(1-0,025t)^23
Note que numericamente
tfrac19200023approx8347,83 e ,8000-tfrac19200023=-tfrac800023.

Passo 7

Se for requerido resolver numericamente (por exemplo, por Euler ou Runge–Kutta), basta usar o sistema
dVdt=-0,025,[6pt] dMdt=4800-0,6,MV,
com V(0)=1, M(0)=8000. A partir daí obtém-se c(t)=M(t)V(t).]

Resposta

(a) 40 h
(b) c(t) =19200023 -800023,(1-0.025t)^23 l[g/m^3r]

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