28.5 A água do mar com uma concentração de é bombeada para um tanque bem misturado a uma vazão de 0,6 . Por causa de um defeito no trabalho do projeto, a água está evaporando do tanque a uma vazão de . A solução salina deixa o tanque a uma vazão de .
(a) Se o tanque continha originalmente da solução de entrada, quanto tempo depois de ligar a bomba de saída o tanque secará?
(b) Use métodos numéricos para determinar a concentração de sal no tanque como uma função do tempo.
Passo 1
O enunciado trata de um tanque bem misturado que recebe água do mar com concentração de \ à vazão de \ , perde água por evaporação à vazão de \ (sem levar sal) e deixa sair solução à vazão de \ . Inicialmente o volume é \ com a mesma concentração inicial de \ .
(a) Pedem o tempo até o tanque secar (isto é, até o volume ir a zero).
(b) Pedem a concentração de sal no tanque como função do tempo, solucionando numericamente o balanço de massa do sal.
Passo 2
Calculemos primeiro o tempo de secagem. Seja o volume no tanque em . Temos
Passo 3
Como , integraremos :
O tanque seca quando , logo
Passo 4
Agora modelamos a massa de sal em gramas. A entrada de sal é
A saída de solução remove sal à concentração e vazão , então a perda de sal é
Assim o balanço é
Passo 5
Esse é linear em . Reescrevendo,
A fator integrante é
Multiplicando e integrando, obtemos após cálculo
Passo 6
A concentração no tanque é
Note que numericamente e .
Passo 7
Se for requerido resolver numericamente (por exemplo, por Euler ou Runge–Kutta), basta usar o sistema
com V(0)=1, M(0)=8000. A partir daí obtém-se c(t)=M(t)V(t).]