18 Para cada inteiro positivo
, seja
.
(a) Mostre que
é uma sequência monótona. É crescente ou decrescente?
(b)
converge ou diverge? Por quế?
(a) Mostre que
(b)
Passo 1
O enunciado define, para cada inteiro positivo
, a soma
O que se pede é mostrar que a sequência
é monótona (cresce ou decresce?) e decidir se ela converge ou diverge, justificando com critérios de monotonicidade e limite de sequência.
Passo 2
Vamos comparar
com
. Por definição,
enquanto
Então
Note que
logo
Isso mostra que
para todo
, ou seja,
é decrescente.
Passo 3
Agora precisamos ver se
está limitada debaixo. Usamos o fato de que, para cada
,
Somando de
até
, obtemos
Assim
para todo
, mostrando que a sequência é limitada inferiormente.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas, toda sequência que é monótona e limitada converge. Aqui temos que
é decrescente e tem limite inferior maior que
, logo ela converge.
Resposta
(a)
é decrescente.
(b) converge, pois é monotônica decrescente e limitada inferiormente.
(b)