18 Para cada inteiro positivo n, seja an=1n+1n+1+1n+2+cdots+12 n.
(a) Mostre que an é uma sequência monótona. É crescente ou decrescente?
(b) an converge ou diverge? Por quế?

Passo 1

O enunciado define, para cada inteiro positivo n, a soma
an = 1n + 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n
O que se pede é mostrar que a sequência an é monótona (cresce ou decresce?) e decidir se ela converge ou diverge, justificando com critérios de monotonicidade e limite de sequência.

Passo 2

Vamos comparar an+1 com an. Por definição,
an+1 = 1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n + 12n+1 + 12n+2,
enquanto
an = 1n + 1n+1 + cdots + 12n
Então
an+1 - an = l(-1nr) + 12n+1 + 12n+2
Note que
12n+1 + 12n+2 < 12n + 12n = 1n,
logo
an+1 - an < -1n + 1n = 0
Isso mostra que an+1<an para todo n, ou seja, an é decrescente.

Passo 3

Agora precisamos ver se an está limitada debaixo. Usamos o fato de que, para cada k>= n,
1k > integralk^k+1 dtt
Somando de k=n até k=2n, obtemos
an = sumk=n^2n 1k > integraln^2n+1 dtt = ln(2n+1) - ln(n) = ln!l(2 + tfrac1nr) > ln 2
Assim ;an>ln2>0 para todo n, mostrando que a sequência é limitada inferiormente.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas, toda sequência que é monótona e limitada converge. Aqui temos que an é decrescente e tem limite inferior maior que ln2, logo ela converge.

Resposta

(a) an é decrescente.
(b) an converge, pois é monotônica decrescente e limitada inferiormente.

Exercícios de Livros Relacionados