Determine se cada seqüência converge ou diverge, se a seqüência convergir, encontre seu limite.
(50+1n)^2 cdot(1+n-1n^2)^50

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = l(50+tfrac1nr)^2 cdot l(1+tfracn-1n^2r)^50
converge ou diverge e, em caso de convergência, calcular limntoinftyan. Vamos usar as leis de limite (soma, produto) e o fato de que funções polinomiais e de potência são contínuas.

Passo 2

Calculamos limntoinftyl(50+tfrac1nr)^2. Como
limntoinftytfrac1n=0 e a função xmapsto x^2 é contínua,
limntoinftyl(50+tfrac1nr)^2 = (50+0)^2 = 2500

Passo 3

Analisamos o segundo fator. Primeiro, note que
1+tfracn-1n^2 = 1 + tfrac1n - tfrac1n^2
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limntoinftyl(1+tfracn-1n^2r) = 1
Como a função xmapsto x^50 é contínua, temos
limntoinftyl(1+tfracn-1n^2r)^50 = 1^50 = 1

Passo 4

Pela regra do produto de limites,
limntoinftyan = limntoinftyl(50+tfrac1nr)^2 ;cdot;limntoinftyl(1+tfracn-1n^2r)^50 = 2500cdot1 = 2500
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 2500.

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