calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência
de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para
-ésima soma parcial
em função de
, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma
.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
O conteúdo é séries telescópicas via frações parciais. Vamos primeiro obter os cinco primeiros termos do termo geral
, depois as cinco primeiras somas parciais
, em seguida fazer a decomposição em frações parciais para achar uma fórmula fechada para
e por fim estudar convergência e soma.
Passo 2
Calcular os cinco primeiros termos
para
:
Passo 3
Calcular as somas parciais
para
:
Passo 4
Fazendo a decomposição em frações parciais supondo
acaba-se encontrando
Isso faz a série telescopar:
Passo 5
Usando a fórmula
, temos
Logo a série converge e sua soma é
.
Resposta
A sequência dos primeiros cinco termos é
as cinco primeiras somas parciais são
a fórmula geral é
e a série converge para