calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência sn de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para n-ésima soma parcial sn em função de n, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma S=lim n +infty sn.
sumk=1^infty 2 k+1k^2(k+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumk=1^infty2k+1k^2(k+1)^2
O conteúdo é séries telescópicas via frações parciais. Vamos primeiro obter os cinco primeiros termos do termo geral ak=2k+1k^2(k+1)^2, depois as cinco primeiras somas parciais sn, em seguida fazer a decomposição em frações parciais para achar uma fórmula fechada para sn e por fim estudar convergência e soma.

Passo 2

Calcular os cinco primeiros termos
ak=2k+1k^2(k+1)^2
para k=1,2,3,4,5:
a1=31^2cdot2^2=34, a2=52^2cdot3^2=536, a3=73^2cdot4^2=7144,
a4=94^2cdot5^2=9400, a5=115^2cdot6^2=11900

Passo 3

Calcular as somas parciais
sn=sumk=1^nak
para n=1,2,3,4,5:
s1=34, s2=34+536=89, s3=89+7144=1516,
s4=1516+9400=2425, s5=2425+11900=3536

Passo 4

Fazendo a decomposição em frações parciais supondo
2k+1k^2(k+1)^2 =Ak+Bk^2+Ck+1+D(k+1)^2,
acaba-se encontrando
2k+1k^2(k+1)^2 =1k^2-1(k+1)^2
Isso faz a série telescopar:
sn =sumk=1^nl(1k^2-1(k+1)^2r) =1-1(n+1)^2

Passo 5

Usando a fórmula sn=1-1(n+1)^2, temos
limntoinftysn =limntoinftyl(1-1(n+1)^2r)=1
Logo a série converge e sua soma é S=1.

Resposta

A sequência dos primeiros cinco termos é
34,;536,;7144,;9400,;11900,
as cinco primeiras somas parciais são
34,;89,;1516,;2425,;3536,
a fórmula geral é
sn=1-1(n+1)^2,
e a série converge para
S=limntoinftysn=1

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