calcule os primeiros cinco termos de cada série, e então calcule os cinco primeiros termos da sequência sn de suas somas parciais. Encontre uma fórmula “simples” para n-ésima soma parcial sn em função de n, determine se a série converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma S=lim n +infty sn.
sumk=1^infty 3^k-15^k

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumk=1^infty 3^k-15^k
que a gente:
  1. Calcule os cinco primeiros termos ak.
  2. Calcule as cinco primeiras somas parciais
    sn definidas por sn=sumk=1^n ak.
  3. Encontre uma fórmula simples para sn em função de n.
  4. Decida se a série converge ou diverge e, se convergir, ache
    S=limntoinftysn.
O conteúdo aqui é soma de série geométrica, pois cada termo satisfaz
ak=3^k-15^k=15l(35r)^k-1

Passo 2

Os cinco primeiros termos ak são, para k=1,2,3,4,5:
a1=15, a2=325, a3=9125, a4=27625, a5=813125

Passo 3

As cinco primeiras somas parciais sn=sumk=1^n ak são:
s1=15, s2=15+325=825, s3=49125, s4=272625, s5=14413125

Passo 4

Para uma série geométrica de primeiro termo a1 e razão
r=tfrac35, a soma parcial é
sn =;a1,1-r^n1-r =15,1-l(tfrac35r)^n1-tfrac35 =1-l(tfrac35r)^n2

Passo 5

Como l|tfrac35r|<1, a série converge.
O limite da soma parcial quando ntoinfty é
S=limntoinftysn =limntoinfty1-(tfrac35)^n2 =1-02 =12

Resposta

Os cinco primeiros termos são
tfrac15,tfrac325,tfrac9125,tfrac27625,tfrac813125.
As cinco primeiras somas parciais são
tfrac15,tfrac825,tfrac49125,tfrac272625,tfrac14413125.
A fórmula geral é
sn=1-(tfrac35)^n2
A série converge pois |3/5|<1, e sua soma é S=tfrac12.

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